Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Logica²** » 07 Jun 2007, 20:22 · Mensagem não lida por **Logica²** » 07 Jun 2007, 20:22

Numa urna, são depositadas [tex3]n[/tex3] etiquetas numeradas de [tex3]1[/tex3] a [tex3]n.[/tex3] Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). A probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos é:

a) [tex3]\frac{(n-2)!}{n!}[/tex3] b) [tex3]\frac{(n-3)!}{n!}[/tex3] c) [tex3]\frac{(n-2)!}{3!n!}[/tex3] d) [tex3]\frac{(n-2)!3!}{n!}[/tex3] e) [tex3]6(n-2)(n-1)[/tex3]

Olá gostaria que alguem me explicasse como resolver esta questão.
Obs: O que quer dizer tambem a palavra "(sem reposição)"
Abraços!

08 Jun 2007, 12:06

Olá Logica²,

1) sem reposição significa que cada número sorteado não retorna à urna. Isso quer dizer que o espaço amostral diminui de uma unidade a cada sorteio.

2) para os três números serem consecutivos é preciso que o primeiro sorteado seja, no máximo, o de ordem [tex3](n-2):[/tex3]

Exemplo: [tex3]n= 9 \Rightarrow 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9[/tex3]

No exemplo o primeiro sorteado não pode ser nem [tex3]8[/tex3] nem [tex3]9.[/tex3] Estão portanto disponíveis [tex3]n-2[/tex3] cartões.

primeira extração:

[tex3]P(1)=\frac{n-2}{n}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]P(1)=\frac{n-2}{n}[/tex3]

segunda: restam [tex3]n-1[/tex3] cartões e apenas um deles serve

[tex3]P(2)=\frac{1}{n-1}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]P(2)=\frac{1}{n-1}[/tex3]

terceira: restam [tex3]n-2[/tex3] cartões e apenas um deles serve

[tex3]P(3)=\frac{1}{n-2}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]P(3)=\frac{1}{n-2}[/tex3]

a probabilidade dos três eventos ocorrerem é dada por [tex3]P(1)\cdot P(2)\cdot P(3)[/tex3]

[tex3]P=\frac{n-2}{(n-1)(n-2)}\rightarrow{P}=\frac{1}{n(n-1)}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]P=\frac{n-2}{(n-1)(n-2)}\rightarrow{P}=\frac{1}{n(n-1)}[/tex3]

agora é preciso sacar que: [tex3]\frac{1}{n(n-1)}=\frac{(n-2)!}{n!}[/tex3]

veja:

[tex3]n!=n(n-1)(n-2)![/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]n!=n(n-1)(n-2)![/tex3]
de modo que

[tex3]\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{(n-2)!}{n(n-1)(n-2)!}=\frac{1}{n(n-1)}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{(n-2)!}{n(n-1)(n-2)!}=\frac{1}{n(n-1)}[/tex3]

Mensagem não lidapor **FelipeMP** » 24 Ago 2017, 15:26 · Mensagem não lida por **FelipeMP** » 24 Ago 2017, 15:26

Thales Gheós, olá, como isso ocorreu? [tex3]P=\frac{n-2}{(n-1)(n-2)}\rightarrow {P}=\frac{1}{n(n-1)}[/tex3]
Não deveria ser [tex3]P=\frac{n-2}{(n-1)(n-2)}\rightarrow P=\frac{1}{(n-1)}[/tex3] ?

Mensagem não lidapor **FelipeMP** » 24 Ago 2017, 15:31 · Mensagem não lida por **FelipeMP** » 24 Ago 2017, 15:31

Ademais, a resposta é a letra D.

Mensagem não lidapor **caju** » 25 Ago 2017, 17:11 · Mensagem não lida por **caju** » 25 Ago 2017, 17:11

Olá FelipeMP,

Houve erro de digitação nesta parte da resolução do Thales. Veja como fica, corrigido o erro de digitação:

a probabilidade dos três eventos ocorrerem é dada por [tex3]P(1)\cdot P(2)\cdot P(3)[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]P(1)\cdot P(2)\cdot P(3)[/tex3]

[tex3]P=\frac{n-2}{{\color{red}n}(n-1)(n-2)}\rightarrow{P}=\frac{1}{n(n-1)}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]P=\frac{n-2}{{\color{red}n}(n-1)(n-2)}\rightarrow{P}=\frac{1}{n(n-1)}[/tex3]

Mas, houve erro de resolução também. O erro foi dizer "apenas um deles serve". Por exemplo, se eu sorteio, primeiro, o número 5, o próximo sorteio eu posso pegar o 4 ou o 6, ou seja, dois deles servem.

Para arrumar a resolução do Thales Geós, o que podemos fazer é multiplicar o resultado dele por [tex3]P_3=3![/tex3] para incluir todas possibilidades de sortear, sem precisar ser na ordem. Daí fecha com a letra D.

A minha resolução foi da seguinte maneira:

Total de possibilidades: [tex3]C_{n,\,3}=\frac{n!}{(n-3)!3!}[/tex3]

Possibilidades de 3 números consecutivos: [tex3](n-2)[/tex3]

Probabilidade: [tex3]\frac{(n-2)}{\frac{n!}{(n-3)!3!}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{6}{n(n-1)}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{(n-2)!3!}{n!}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

B3rtunes · Mensagem não lida por **B3rtunes** » 03 Jul 2019, 15:01

Uma dúvida, professor Caju, nessa parte final da probabilidade, como fez para chegar no resultado? Obrigada.

Mensagem não lidapor **caju** » 03 Jul 2019, 15:05 · Mensagem não lida por **caju** » 03 Jul 2019, 15:05

Olá B3rtunes,

Para calcular a probabilidade de um evento, utilizamos a fórmula [tex3]\text{Prob}=\frac{\text{Qtd de Casos Favoráveis}}{\text{Qtd de Casos Possíveis}}[/tex3] .

Nessa questão, eu encontrei o Total de Possibilidades: [tex3]C_{n,\,3}=\frac{n!}{(n-3)!3!}[/tex3] , então esse é o número de casos possíveis.

E a quantidade de casos favoráveis é [tex3](n-2)[/tex3] . Aplicando a fórmula da Probabilidade chegamos em:

[tex3]\frac{(n-2)}{\frac{n!}{(n-3)!3!}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{6}{n(n-1)}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{(n-2)!3!}{n!}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Mensagem não lidapor **SWR** » 03 Mai 2024, 19:43 · Mensagem não lida por **SWR** » 03 Mai 2024, 19:43

Fessor, poderiamos fazer um por vez, subtraindo 1, após o primeiro e o segundo sorteio, tanto no numerador quanto no denominador...?!

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