Olimpíadas ⇒ (Olímpiada da Noruega-95) Polinômio Tópico resolvido

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Prove que se [tex3](x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1[/tex3]

, então [tex3]x+y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+y=0[/tex3]

.

[AugustoCRF]

I. Primeiro faremos [tex3]\sqrt{x^2+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x^2+1}[/tex3]

= a e [tex3]\sqrt{y^2+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{y^2+1}[/tex3]

= b
x + a = [tex3]\frac{1}{b+y} = \frac{b-y}{(b-y)(b+y)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{b+y} = \frac{b-y}{(b-y)(b+y)}[/tex3]

= b - y
II. x + a = b -y ==> x + y = b - a ==> eq.I
III. Fazendo agora o processo contrário teríamos que y+b = a - x ==> x + y = a - b = -(b - a)
Logo x + y = b - a = -(b - a)
x + y = 0