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Mensagem não lidapor **AngelitaB** » 07 Jun 2021, 07:37 · Mensagem não lida por **AngelitaB** » 07 Jun 2021, 07:37

Seja a2, a3, a4, a5, a6, a7 valores inteiros que satisfaz a equação [tex3]\frac{5}{7} = \frac{a2}{2!} + \frac{a3}{3!} + \frac{a4}{4!} + \frac{a5}{5!} + \frac{a6}{6!}+\frac{a7}{7!}[/tex3] . Sabendo que 0 [tex3]\leq [/tex3] ai <i para i=2,3,4,5,..7. Então o valor da expressão a2+a3+a4\+a5+a6+a7 é igual a:
a)8
b)9
c)10
d)11
e)12

Resposta

b

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 07 Jun 2021, 22:43 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 07 Jun 2021, 22:43

[tex3]\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} [/tex3]

Se zera o [tex3]a_2 [/tex3] e pegar o máximo dos outros:

[tex3]\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+\frac{5}{6!}+\frac{6}{7!} <\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{100} =\frac{401}{600} <\frac{402}{600} = \frac{67}{100}<\frac{5}{7}[/tex3]

Então: [tex3]a_2 =1[/tex3]
[tex3]\frac{3}{14} = \frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} [/tex3]

Agora [tex3]\frac{2}{3!} > \frac{3}{14}[/tex3] , então [tex3]a_3 \in \{0,1\} [/tex3]
Se [tex3]a_3 = 0 [/tex3] , então:
[tex3]\frac{3}{14} =\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} [/tex3]
Aqui complica um pouco, vamos para o outro lado.

Se [tex3]a_3 = 1 [/tex3] , então:
[tex3]\frac{1}{21} = \frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} [/tex3]
Aqui [tex3]\frac{2}{4!} > \frac{1}{21}[/tex3] , então [tex3]a_4 \in \{0,1\} [/tex3]
Se [tex3]a_4 = 1 [/tex3] , então:
[tex3]\frac{1}{168} =\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} [/tex3]
Só que:
[tex3]\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!} =\frac{5}{504}> \frac{1}{168} [/tex3]
Então vai ser preciso zerar pelo menos um: [tex3]a_5,a_6,a_7 [/tex3]
Se [tex3]a_5=0 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{168} =\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} [/tex3]
[tex3]\frac{7!}{168} =7a_6+a_7 [/tex3]
[tex3]30 =7a_6+a_7 [/tex3]
Olha só: [tex3]\begin{cases}
a_6=4 \\
a_7=2
\end{cases}[/tex3]

Então apareceu uma solução:
[tex3]\boxed{\begin{cases}
a_7=2 \\
a_6=4 \\
a_5=0 \\
a_4=1 \\
a_3=1 \\
a_2=1
\end{cases}}[/tex3]

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