IME / ITA ⇒ (ITA) Divisibilidade

[rhamonaraize]

***A Paz***

O resto da divisão de 1!.5+2!.11+...+K!.(K²+3k+1)+...+200!.40601 por 2004 é igual a :
a)0
b)2000
c)2001
d)2002
e)2003

>>>Felicidades>>>

[lftm]

A questão pede para calcular [tex3]\sum_{k=1}^{200} k!(k^2 + 3k + 1) mod 2004[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^{200} k!(k^2 + 3k + 1) mod 2004[/tex3]

.

Temos [tex3]k!(k^2 + 3k + 1) = k!((k+1)(k+2) - 1) = (k+2)! - k![/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k!(k^2 + 3k + 1) = k!((k+1)(k+2) - 1) = (k+2)! - k![/tex3]

. Logo, a série é telescópica e:

[tex3]\sum_{k=1}^{200} (k+2)! - k! mod 2004 = (201! + 202! - 1! - 2! ) mod 2004[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^{200} (k+2)! - k! mod 2004 = (201! + 202! - 1! - 2! ) mod 2004[/tex3]

2004 = 12 . 167, como 12 | 201! e 167 | 201! , 2004 | 201! e 201! . 202 = 202!

Assim, 201! = 202! = 0 mod 2004 e [tex3]\sum_{k=1}^{200} k!(k^2 + 3k + 1) = -3 = 2001 mod 2004[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^{200} k!(k^2 + 3k + 1) = -3 = 2001 mod 2004[/tex3]

A resposta é, então ,a letra (c), 2001.

[rhamonaraize]

***A Paz***

Obrigada !!!

>>>Felicidades>>>