Ensino Médio ⇒ Contagem e MDC Tópico resolvido

[papirador]

Se A=1111...1 e B=1111...11 tal que A tenha 8 algarismos e B tenha 100 algarismos, a soma dos algarimos do MDC de A e B vale:
a)16
b)11
c)8
d)4
e)2

Resposta

---

gab provisório= d

[Pedro56]

Vamos expandir os números em potências de 10: A = 10 ^ 7 + 10 ^ 6 + 10 ^ 5 + 10 ^ 4 + 10 ^ 3 + 10 ^ 2 + 10 ^ 1 + 10 ^ 0
Da mesma forma:
B= 10 ^ 94 + 10 ^ 98 +...+10^ 1 +10^ 0
Para o A: 10 ^ 6 * (10 + 1) + 10 ^ 4 * (10 + 1) +10^ 2*(10+1)+10^ 0*(10+1)
Colocando o 11 em evidência, temos:
11(10 ^ 6 + 10 ^ 4 + 10 ^ 2 + 1)
Agora botando as potencias no parênteses em evidência:
11( 10 ^ 4 * (10 ^ 2 + 1) + 10 ^0 * (10 ^ 2 + 1))
11(101)(10001) =A
Fazendo as mesmos coisas pro B :

B= (11)(101)(1001) (10^ 92 +10^ 84 +...+1)

se B=A*( 10 ^ 92 + 10 ^ 84 +...+1), então
mdc (A, B) = A = 111111 1. E 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8
Resposta: C.