IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Somatório

[Jpgonçalves]

Determine o valor da soma:

[tex3]\sum_{k=0}^{\infty} k^{3}-k^{2}-3k+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=0}^{\infty} k^{3}-k^{2}-3k+1[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\frac{(n+1)(3n^{3}-n^{2}-20n+12)}{12}[/tex3]

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[tex3]\frac{(n+1)(3n^{3}-n^{2}-20n+12)}{12}[/tex3]

[παθμ]

Jpgonçalves, é possível calcular os somatórios da forma [tex3]S_i(n)=\sum_{k=1}^{n}k^i[/tex3]

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[tex3]S_i(n)=\sum_{k=1}^{n}k^i[/tex3]

de forma recursiva, usando os resultados para todos os i's anteriores. Veja:

[tex3](k+1)^2-k^2=2k+1 \Longrightarrow \sum \left[(k+1)^2-k^2\right]=2 \sum k+ \sum 1 [/tex3]

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[tex3](k+1)^2-k^2=2k+1 \Longrightarrow \sum \left[(k+1)^2-k^2\right]=2 \sum k+ \sum 1 [/tex3]

(os somatórios vão de 1 a n).

Notando que a soma à esquerda é telescópica, temos [tex3](n+1)^2-1=2S_1+n \Longrightarrow S_1=\frac{n(n+1)}{2},[/tex3]

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[tex3](n+1)^2-1=2S_1+n \Longrightarrow S_1=\frac{n(n+1)}{2},[/tex3]

um resultado conhecido.


[tex3](k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1.[/tex3]

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[tex3](k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1.[/tex3]

Raciocínio análogo, faça o somatório de 1 a n dos dois lados e note a soma telescópica à esquerda:

[tex3](n+1)^3-1=3S_2+3S_1+n \Longrightarrow S_2=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.[/tex3]

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[tex3](n+1)^3-1=3S_2+3S_1+n \Longrightarrow S_2=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.[/tex3]

[tex3](k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1.[/tex3]

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[tex3](k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1.[/tex3]

Mesmo procedimento:

[tex3](n+1)^4-1=4S_3+6S_2+4S_1+n \Longrightarrow S_3=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2[/tex3]

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[tex3](n+1)^4-1=4S_3+6S_2+4S_1+n \Longrightarrow S_3=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2[/tex3]

(que interessantemente é igual a [tex3]S_1^2[/tex3]

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[tex3]S_1^2[/tex3]

).

Agora indo ao problema:

[tex3]S=\sum_{k=0}^{n}(k^3-k^2-3k+1)=S_3-S_2-3S_1+(n+1)=\frac{3n^4+2n^3-21n^2-8n+12}{12}.[/tex3]

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[tex3]S=\sum_{k=0}^{n}(k^3-k^2-3k+1)=S_3-S_2-3S_1+(n+1)=\frac{3n^4+2n^3-21n^2-8n+12}{12}.[/tex3]

Notando que -1 é raíz do polinômio no numerador, você pode fazer a divisão por n+1 e deixar a resposta final na forma:

[tex3]\boxed{S=\frac{(n+1)(3n^3-n^2-20n+12)}{12}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{S=\frac{(n+1)(3n^3-n^2-20n+12)}{12}}[/tex3]