[tex3]\sum_{n=(n-1)}^{∞} \frac{2n-1}{3^{2n}} [/tex3]
Resposta
[tex3]\frac {(3^{(4-2n)})(8n-11)}{32}[/tex3]
IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Somatório Tópico resolvido
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Mar 2024
07
14:11
(IME/ITA) Somatório
Determine a soma:
[tex3]\sum_{n=(n-1)}^{∞} \frac{2n-1}{3^{2n}} [/tex3]
[tex3]\frac {(3^{(4-2n)})(8n-11)}{32}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=(n-1)}^{∞} \frac{2n-1}{3^{2n}} [/tex3]
[tex3]\frac {(3^{(4-2n)})(8n-11)}{32}[/tex3]
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Mar 2024
12
13:41
Re: (IME/ITA) Somatório
Graças a Deus, consegui fazer!
Deixarei a resolução aqui caso outros tenham dúvidas.
Para [tex3]n =(n-1)[/tex3] , S = [tex3]\frac {2(n-1)-1}{3^{2(n-1)}}[/tex3] .
Para [tex3]n =n[/tex3] , S = [tex3]\frac {2n-1}{3^{2n}}[/tex3] .
Para [tex3]n =(n+1)[/tex3] , S = [tex3]\frac {2(n+1)-1}{3^{2(n+1)}}[/tex3] .
Para [tex3]n =(n+2)[/tex3] , S = [tex3]\frac {2(n+2)-1}{3^{2(n+2)}}[/tex3] .
Ao fazer-se o somatório geral [tex3]y[/tex3] , tem-se que:
[tex3]y = \left(\frac {2(n-1)-1}{3^{2(n-1)}}\right) + \left(\frac {2n-1}{3^{2n}}\right) + \left(\frac {2(n+1)-1}{3^{2(n+1)}}\right) + \left(\frac {2(n+2)-1}{3^{2(n+2)}}\right) ...[/tex3] (I)
Dividindo-se [tex3]y[/tex3] por 9, tem-se:
[tex3]\frac{y}{9} = \left(\frac{2(n-1)-1}{3^{2n}}\right) +\left(\frac {2n-1}{3^{2n+1}}\right) + ... [/tex3] (II)
Fazendo (I)-(II), obtém-se:
[tex3]y-\frac{y}{9} = \left(\frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{2n-1}{3^{2n}} - \frac{(2n-3)}{3^{2n}}\right) + \left(\frac{2n+1}{3^{2(n+1)}} - \frac{(2n-1)}{3^{2(n+1)}}\right) + ...\right)[/tex3]
[tex3]\frac{8y}{9} = \left(\frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{2n-1}{3^{2n}} - \frac{2n+3}{3^{2n}}\right) + \left(\frac{2n+1}{3^{2(n+1)}} - \frac{2n+1}{3^{2(n+1)}}\right) + ...\right)[/tex3]
[tex3]\frac{8y}{9} = \left(\frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{2}{3^{2n}} + \frac{2}{3^{2(n+1)}} + \frac{2}{3^{2(n+2)}} ... \right) \right) [/tex3]
[tex3]\frac{8y}{9} = \left(\frac{2n-3}{3^{2n-2}} +2 \left(\frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{3^{2(n+1)}} + \frac{1}{3^{2(n+2)}} + ... \right) \right) [/tex3]
Sendo [tex3]\left(\frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{3^{2(n+1)}} + \frac{1}{3^{2(n+2)}} + ... \right)[/tex3] uma P.G. infinita de [tex3]q = \frac{1}{3^{2}}[/tex3] , tem-se:
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + 2 \left(\frac{\frac{1}{3^{2n}}}{1 - \frac{1}{9}} \right)[/tex3]
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + 2 \left(\frac{1}{3^{2n}}* \frac{3^{2}}{8} \right)[/tex3]
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{1}{3^{2n}}* \frac{3^{2}}{4} \right)[/tex3]
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{3^{2}}{3^{2n}*4} \right)[/tex3]
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{1}{3^{2n-2}*4} \right)[/tex3]
Ao tirar-se o MMC, tem-se que:
[tex3]\frac{8n-12+1}{4(3^{2n-2})} = \frac{8y}{9}[/tex3]
[tex3]\frac{9(8n-12+1)}{32(3^{2n-2})} = y[/tex3]
[tex3]\frac{3^{2}(3^{2-2n})(8n-11)}{32} = y[/tex3]
[tex3]\frac{(3^{4-2n})(8n-11)}{32} = y[/tex3]
Deixarei a resolução aqui caso outros tenham dúvidas.
Para [tex3]n =(n-1)[/tex3] , S = [tex3]\frac {2(n-1)-1}{3^{2(n-1)}}[/tex3] .
Para [tex3]n =n[/tex3] , S = [tex3]\frac {2n-1}{3^{2n}}[/tex3] .
Para [tex3]n =(n+1)[/tex3] , S = [tex3]\frac {2(n+1)-1}{3^{2(n+1)}}[/tex3] .
Para [tex3]n =(n+2)[/tex3] , S = [tex3]\frac {2(n+2)-1}{3^{2(n+2)}}[/tex3] .
Ao fazer-se o somatório geral [tex3]y[/tex3] , tem-se que:
[tex3]y = \left(\frac {2(n-1)-1}{3^{2(n-1)}}\right) + \left(\frac {2n-1}{3^{2n}}\right) + \left(\frac {2(n+1)-1}{3^{2(n+1)}}\right) + \left(\frac {2(n+2)-1}{3^{2(n+2)}}\right) ...[/tex3] (I)
Dividindo-se [tex3]y[/tex3] por 9, tem-se:
[tex3]\frac{y}{9} = \left(\frac{2(n-1)-1}{3^{2n}}\right) +\left(\frac {2n-1}{3^{2n+1}}\right) + ... [/tex3] (II)
Fazendo (I)-(II), obtém-se:
[tex3]y-\frac{y}{9} = \left(\frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{2n-1}{3^{2n}} - \frac{(2n-3)}{3^{2n}}\right) + \left(\frac{2n+1}{3^{2(n+1)}} - \frac{(2n-1)}{3^{2(n+1)}}\right) + ...\right)[/tex3]
[tex3]\frac{8y}{9} = \left(\frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{2n-1}{3^{2n}} - \frac{2n+3}{3^{2n}}\right) + \left(\frac{2n+1}{3^{2(n+1)}} - \frac{2n+1}{3^{2(n+1)}}\right) + ...\right)[/tex3]
[tex3]\frac{8y}{9} = \left(\frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{2}{3^{2n}} + \frac{2}{3^{2(n+1)}} + \frac{2}{3^{2(n+2)}} ... \right) \right) [/tex3]
[tex3]\frac{8y}{9} = \left(\frac{2n-3}{3^{2n-2}} +2 \left(\frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{3^{2(n+1)}} + \frac{1}{3^{2(n+2)}} + ... \right) \right) [/tex3]
Sendo [tex3]\left(\frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{3^{2(n+1)}} + \frac{1}{3^{2(n+2)}} + ... \right)[/tex3] uma P.G. infinita de [tex3]q = \frac{1}{3^{2}}[/tex3] , tem-se:
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + 2 \left(\frac{\frac{1}{3^{2n}}}{1 - \frac{1}{9}} \right)[/tex3]
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + 2 \left(\frac{1}{3^{2n}}* \frac{3^{2}}{8} \right)[/tex3]
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{1}{3^{2n}}* \frac{3^{2}}{4} \right)[/tex3]
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{3^{2}}{3^{2n}*4} \right)[/tex3]
[tex3]\frac {8y}{9} = \frac{2n-3}{3^{2n-2}} + \left(\frac{1}{3^{2n-2}*4} \right)[/tex3]
Ao tirar-se o MMC, tem-se que:
[tex3]\frac{8n-12+1}{4(3^{2n-2})} = \frac{8y}{9}[/tex3]
[tex3]\frac{9(8n-12+1)}{32(3^{2n-2})} = y[/tex3]
[tex3]\frac{3^{2}(3^{2-2n})(8n-11)}{32} = y[/tex3]
[tex3]\frac{(3^{4-2n})(8n-11)}{32} = y[/tex3]
Editado pela última vez por Jpgonçalves em 12 Mar 2024, 13:42, em um total de 1 vez.
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