IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Somatório Tópico resolvido

[Jpgonçalves]

Calcule a soma:

[tex3]\sum_{n=1}^{∞} \frac{2n^2-3n+5}{10.2^n} = \frac{1}{5} + \frac{7}{40} + \frac{7}{40} + \frac{5}{32} + \frac{1}{8} + \frac{59}{640} + \frac{41}{640} + \frac{109}{2560} + ... [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=1}^{∞} \frac{2n^2-3n+5}{10.2^n} = \frac{1}{5} + \frac{7}{40} + \frac{7}{40} + \frac{5}{32} + \frac{1}{8} + \frac{59}{640} + \frac{41}{640} + \frac{109}{2560} + ... [/tex3]

[παθμ]

Jpgonçalves,

Primeiramente, vamos calcular o somatório geral [tex3]s_1=\sum_{n=1}^{\infty}nk^n=k+2k^2+3k^3+4k^4+...
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s_1=\sum_{n=1}^{\infty}nk^n=k+2k^2+3k^3+4k^4+...
[/tex3]

[tex3]\frac{s_1}{k}=1+2k+3k^2+4k^3+...[/tex3]

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[tex3]\frac{s_1}{k}=1+2k+3k^2+4k^3+...[/tex3]

Fazendo a subtração e encaixando alguns termos:

[tex3]\frac{s_1}{k}-s_1=1+k+k^2+k^3+...=\frac{1}{1-k} \Longrightarrow s_1=\frac{k}{(1-k)^2}.[/tex3]

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[tex3]\frac{s_1}{k}-s_1=1+k+k^2+k^3+...=\frac{1}{1-k} \Longrightarrow s_1=\frac{k}{(1-k)^2}.[/tex3]

Agora, vamos calcular [tex3]s_2=\sum_{n=1}^{\infty}n^2k^n=k+4k^2+9k^3+16k^4+25k^5+...[/tex3]

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[tex3]s_2=\sum_{n=1}^{\infty}n^2k^n=k+4k^2+9k^3+16k^4+25k^5+...[/tex3]

[tex3]\frac{s_2}{k}=1+4k+9k^2+16k^3+25k^4+...[/tex3]

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[tex3]\frac{s_2}{k}=1+4k+9k^2+16k^3+25k^4+...[/tex3]

Notando que [tex3](n+1)^2-n^2=2n+1,[/tex3]

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[tex3](n+1)^2-n^2=2n+1,[/tex3]

fazemos a subtração encaixando alguns termos:

[tex3]\frac{s_2}{k}-s_2=1+3k+5k^2+7k^3+9k^4+...=\frac{1}{k}\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)k^n=\frac{1}{k}\left(2\sum_{n=1}^{\infty}(nk^n)-\sum_{n=1}^{\infty}k^n\right)=\frac{1}{k}\left(\frac{2k}{(1-k)^2}-\frac{k}{1-k}\right).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{s_2}{k}-s_2=1+3k+5k^2+7k^3+9k^4+...=\frac{1}{k}\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)k^n=\frac{1}{k}\left(2\sum_{n=1}^{\infty}(nk^n)-\sum_{n=1}^{\infty}k^n\right)=\frac{1}{k}\left(\frac{2k}{(1-k)^2}-\frac{k}{1-k}\right).[/tex3]

Assim, [tex3]s_2=\frac{k(1+k)}{(1-k)^3}.[/tex3]

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[tex3]s_2=\frac{k(1+k)}{(1-k)^3}.[/tex3]

Agora vamos ao problema.

[tex3]S_1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{(1/2)^3}=6[/tex3]

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[tex3]S_1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{(1/2)^3}=6[/tex3]

[tex3]S_2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\frac{1/2}{(1/2)^2}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\frac{1/2}{(1/2)^2}=2[/tex3]

[tex3]S_3=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1/2}{1/2}=1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_3=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1/2}{1/2}=1.[/tex3]

[tex3]S=\frac{1}{10}(2S_1-3S_2+5S_3)=\frac{12-6+5}{10}=\boxed{\frac{11}{10}}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{1}{10}(2S_1-3S_2+5S_3)=\frac{12-6+5}{10}=\boxed{\frac{11}{10}}[/tex3]

[Jpgonçalves]

Obrigado, παθμ!