IME/ITA ⇒ ITA 2003 - Gravitação Tópico resolvido

[LuisSchmitt]

ITA 2003
Variações no campo gravitacional na superfície da Terra podem advir de irregularidades na distribuição de sua massa. Considere a Terra como uma esfera de raio R e de densidade μ, uniforme, com uma cavidade esférica de raio a, inteiramente contida no seu interior. A distância entre os centros O, da Terra, e C, da cavidade, é d, que pode variar de 0 (zero) até R - a, causando, assim, uma variação do campo gravitacional em um ponto P, sobre a superfície da Terra, alinhado com O e C. (Veja a figura). Seja G1 a intensidade do campo gravitacional em P sem a existência da cavidade na Terra, e G2, a intensidade do campo no mesmo ponto, considerando a existência da cavidade. Então, o valor máximo da variação relativa: (G1 - G2)/G1, que se obtém ao deslocar a posição da cavidade, é:

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Tem como resolver essa questão utilizando o conceito de centro de massa?
RESPOSTA:

Resposta

---

a/R

[παθμ]

Densidade da Terra: [tex3]\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}[/tex3]

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[tex3]\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}[/tex3]

.

[tex3]g_1=\frac{GM}{R^2}[/tex3]

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[tex3]g_1=\frac{GM}{R^2}[/tex3]

Na situação em que temos a cavidade, temos, pelo princípio da superposição, que o sistema é equivalente ao sistema original acrescido de uma esfera de densidade negativa [tex3]-\rho[/tex3]

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[tex3]-\rho[/tex3]

no local da cavidade.

A massa dessa esfera é [tex3]m=-\rho \frac{4\pi a^3}{3}=-\frac{Ma^3}{R^3}[/tex3]

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[tex3]m=-\rho \frac{4\pi a^3}{3}=-\frac{Ma^3}{R^3}[/tex3]

.

[tex3]g_2=\frac{GM}{R^2}+\frac{Gm}{(R-d)^2}=\frac{GM}{R^2}-\frac{GMa^3}{R^3(R-d)^2}[/tex3]

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[tex3]g_2=\frac{GM}{R^2}+\frac{Gm}{(R-d)^2}=\frac{GM}{R^2}-\frac{GMa^3}{R^3(R-d)^2}[/tex3]

.

Disso, obtemos [tex3]\frac{g_1-g_2}{g_1}=\frac{a^3}{R(R-d)^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{g_1-g_2}{g_1}=\frac{a^3}{R(R-d)^2}[/tex3]

.

Para maximizar isso, devemos minimizar o denominador, e, assim, maximizar [tex3]d[/tex3]

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[tex3]d[/tex3]

. Como a cavidade está dentro da Terra, o valor máximo para [tex3]d[/tex3]

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[tex3]d[/tex3]

é [tex3]d=R-a\rightarrow R-d=a[/tex3]

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[tex3]d=R-a\rightarrow R-d=a[/tex3]

.

Inserindo esse resultado, obtemos que o valor máximo para a razão é [tex3]\frac{g_1-g_2}{g_1}=\frac{a}{R}[/tex3]

Tem como resolver essa questão utilizando o conceito de centro de massa?

Não. A lei fundamental da gravitação, [tex3]F=\frac{Gm_1m_2}{d^2}[/tex3]

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[tex3]F=\frac{Gm_1m_2}{d^2}[/tex3]

, é válida para partículas. Todo mundo sabe que essa equação é válida também para esferas, onde devemos considerar suas massas totais e a distância entre seus centros, mas este último é um resultado que pode ser demonstrado a partir da lei para partículas. Se você quiser saber o campo gravitacional gerado por um corpo qualquer de massa [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

a uma distância [tex3]d[/tex3]

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[tex3]d[/tex3]

de seu centro de massa, você não pode dizer que é simplesmente [tex3]\frac{Gm}{d^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{Gm}{d^2}[/tex3]

. Para um formato generalizado, isso é completamente incorreto.