IME/ITA ⇒ Trabalho, Energia e Potência (AFA) Tópico resolvido

[Santino]

(AFA) Uma mola ideal de constante elástica [tex3]\mathsf{k}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{k}[/tex3]

, depois de sofrer uma deformação [tex3]\mathsf{x}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{x}[/tex3]

, lança um bloco de massa [tex3]\mathsf{m}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{m}[/tex3]

, verticamente para cima, até uma determinada altura [tex3]\mathsf{H}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{H}[/tex3]

, conforme ilustra a figura abaixo.

Screenshot 2021-12-11 18.47.02.png (43.4 KiB) Exibido 1272 vezes

Desprezando qualquer forma de atrito e considerando desprezível a massa da plataforma sobre a qual o bloco se apoia, o módulo da velocidade que o bloco possuirá, ao passar por metade dessa altura, é dado por:

[tex3]\mathsf{a) \ x \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot k}{m}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{a) \ x \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot k}{m}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{b) 2\cdot x \cdot \sqrt{\dfrac{k}{2 \cdot m}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{b) 2\cdot x \cdot \sqrt{\dfrac{k}{2 \cdot m}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{c) 2\cdot x \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot k}{m}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{c) 2\cdot x \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot k}{m}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{d) \ x \cdot \sqrt{\dfrac{k}{2 \cdot m}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{d) \ x \cdot \sqrt{\dfrac{k}{2 \cdot m}}}[/tex3]

Resposta

---

d

[joaopcarv]

Santino, cuidado com a primeira regra do fórum. Não é permitido postar enunciados na forma de imagens. Eu editei para você e corrigi isso.

Enfim, voltando à questão:

Na altura máxima [tex3]\mathsf{H}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{H}[/tex3]

, a velocidade do bloco é nula, devido à desaceleração da gravidade. Por conservação de energia mecânica, com referência de altura na base da mola:

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot H \ (I)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot H \ (I)}[/tex3]

Na metade da altura, o bloco possui tanto energia potencial gravitacional quanto cinética. Novamente, por conservação de energia, considerando a energia inicial armazenada na mola:

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot \dfrac{H}{2} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot \dfrac{H}{2} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ \dfrac{\overbrace{m \cdot g \cdot H}^{= \ \frac{k \cdot x^2}{2} \ (I)}}{2} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ \dfrac{\overbrace{m \cdot g \cdot H}^{= \ \frac{k \cdot x^2}{2} \ (I)}}{2} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ \dfrac{k \cdot x^2}{4} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ \dfrac{k \cdot x^2}{4} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{4} \ = \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{4} \ = \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{v \ = \ x \cdot \sqrt{\dfrac{k}{2 \cdot m}}}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{v \ = \ x \cdot \sqrt{\dfrac{k}{2 \cdot m}}}}}[/tex3]

[Santino]

Perdão, irei me atentar melhor às regras do fórum!

Muito obrigado pela sua resolução de vdd! Tava já há um tempo tentando fazer esser exércio. Porém fiquei com uma dúvida, por que a metade da distãncia é [tex3]\frac{H}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{H}{2}[/tex3]

e não [tex3]\frac{H}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{H}{2}[/tex3]

- x ? Eu pensei que o bloco só saíria da superfície da mola quando estivesse na altura x

Santino, cuidado com a primeira regra do fórum. Não é permitido postar enunciados na forma de imagens. Eu editei para você e corrigi isso.

Enfim, voltando à questão:

Na altura máxima [tex3]\mathsf{H}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{H}[/tex3]

, a velocidade do bloco é nula, devido à desaceleração da gravidade. Por conservação de energia mecânica, com referência de altura na base da mola:

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot H \ (I)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot H \ (I)}[/tex3]

Na metade da altura, o bloco possui tanto energia potencial gravitacional quanto cinética. Novamente, por conservação de energia, considerando a energia inicial armazenada na mola:

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot \dfrac{H}{2} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot \dfrac{H}{2} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ \dfrac{\overbrace{m \cdot g \cdot H}^{= \ \frac{k \cdot x^2}{2} \ (I)}}{2} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ \dfrac{\overbrace{m \cdot g \cdot H}^{= \ \frac{k \cdot x^2}{2} \ (I)}}{2} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ \dfrac{k \cdot x^2}{4} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ \dfrac{k \cdot x^2}{4} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{4} \ = \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{4} \ = \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{v \ = \ x \cdot \sqrt{\dfrac{k}{2 \cdot m}}}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{v \ = \ x \cdot \sqrt{\dfrac{k}{2 \cdot m}}}}}[/tex3]

[joaopcarv]

Tudo bem, qualquer coisa pode pedir ajuda a nós moderadores.

Enfim, é o seguinte:

Pode-se escolher um referencial arbitrário para a altura. Eu escolhi, na minha resolução, o referencial como sendo a partir da plataforma da mola. Fazendo isso, o bloco não terá componente potencial gravitacional inicialmente (quando a mola está comprimida).

Você poderia ter escolhido o referencial a partir da qual a altura média fica sendo [tex3]\mathsf{\dfrac{H}{2} \ - \ x}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{H}{2} \ - \ x}[/tex3]

. Essa é a escolha tomando-se o topo do bloco. Mas, ao escolher esse referencial, você estará colocando uma componente potencial gravitacional inicial no bloco. O bloco vai sair de uma "altura negativa" [tex3]\mathsf{-x}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{-x}[/tex3]

, de forma que, inicialmente, teremos:

[tex3]\mathsf{E_{m}^{^{inicial}} \ = \ \dfrac{k \cdot x^2}{2} \ - \ m \cdot g \cdot x.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{E_{m}^{^{inicial}} \ = \ \dfrac{k \cdot x^2}{2} \ - \ m \cdot g \cdot x.}[/tex3]

Fazendo as contas com esses valores:

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ - \ m \cdot g \cdot x \ = \ m \cdot g \cdot (H \ - \ x)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ - \ m \cdot g \cdot x \ = \ m \cdot g \cdot (H \ - \ x)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ \cancel{- \ m \cdot g \cdot x} \ = \ m \cdot g \cdot H \ \cancel{- m \cdot g \cdot x}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ \cancel{- \ m \cdot g \cdot x} \ = \ m \cdot g \cdot H \ \cancel{- m \cdot g \cdot x}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot H}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ = \ m \cdot g \cdot H}[/tex3]

E a conta continua igual:

[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ \cancel{- \ m \cdot g \cdot x} \ = \ \dfrac{\cancelto{\frac{k \cdot x^2}{2}}{m \cdot g \cdot H}}{2} \ \cancel{- \ m \cdot g \cdot x} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{k \cdot x^2}{2} \ \cancel{- \ m \cdot g \cdot x} \ = \ \dfrac{\cancelto{\frac{k \cdot x^2}{2}}{m \cdot g \cdot H}}{2} \ \cancel{- \ m \cdot g \cdot x} \ + \ \dfrac{m \cdot v^2}{2}}[/tex3]

E o resultado é o mesmo. Ou seja, mudando-se o referencial não se altera o resultado final, dado que as componentes se cancelam.