a) Considere um pedaço infinitesimal de fio, de comprimento [tex3]dl.[/tex3]
Toda curva suave pode ser aproximada localmente por um arco de circunferência infinitesimal, daí seja [tex3]R[/tex3]
o raio de curvatura instantâneo e [tex3]d\theta[/tex3]
o tamanho angular do arco:
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Equilíbrio de forças na horizontal: [tex3]T \sin\left(90 \degree -\frac{d\theta}{2}\right)=(T+dT) \sin\left(90 \degree - \frac{d\theta}{2}\right) \Longrightarrow dT=0.[/tex3]
Ou seja, a tração em cada metade do fio é constante.
Equilíbrio de forças na horizontal: [tex3]B i \text{d}l=2T \cos\left(90 \degree - \frac{d\theta}{2}\right)=2T \sin(d\theta/2).[/tex3]
Como dθ é infinitesimal, temos sin(dθ/2) = dθ/2 (termos a partir da segunda ordem em dθ não têm efeito).
Daí, [tex3]Bi \text{d}l=T \text{d}\theta \Longrightarrow \frac{dl}{d\theta}=\frac{T}{Bi} \Longrightarrow R=\frac{T}{Bi}.[/tex3]
Ou seja, o raio de curvatura é constante, o que significa que cada metade do fio assume a forma de um arco de circunferência. Levando em consideração a simetria, o esboço fica assim (dois arcos de circunferência simétricos em relação à vertical central):
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b) Note que isso corresponde à situação quando o fio formar uma circunferência completa. Daí, [tex3]2l=2\pi R \Longrightarrow R=\frac{l}{\pi },[/tex3]
então a distância da massa ao teto é [tex3]\frac{2l}{\pi}.[/tex3]
O que significa que ela foi erguida de uma altura [tex3]\Delta h=l-\frac{2l}{\pi}=\boxed{l\left(1-\frac{2}{\pi}\right)}[/tex3]
c) Seja [tex3]\alpha[/tex3]
o ângulo que o fio forma com a vertical no ponto mais baixo:
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Temos [tex3]l=2 \alpha R \Longrightarrow R=\frac{l}{2\alpha}.[/tex3]
Além disso, pelo equilíbrio de forças na massa: [tex3]2T \cos(\alpha)=mg \Longrightarrow T=\frac{mg}{2\cos(\alpha)}.[/tex3]
Como [tex3]T=RBi:[/tex3]
[tex3]RBi=\frac{Bil}{2\alpha}=\frac{mg}{2\cos(\alpha)} \Longrightarrow \frac{\cos(\alpha)}{\alpha}=\frac{mg}{Bil}.[/tex3]
Temos também [tex3]y=2R \sin(\alpha)=\frac{l \sin(\alpha)}{\alpha}.[/tex3]
A altura da qual a massa foi levantada é [tex3]\Delta h=l-y=\boxed{l\left(1-\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}\right)}[/tex3]
Onde [tex3]\alpha[/tex3]
é a solução da equação transcendental [tex3]\frac{\cos(\alpha)}{\alpha}=\frac{mg}{Bil}.[/tex3]
d) Para esse item, [tex3]\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}=\frac{3}{\pi}.[/tex3]
Podemos perceber facilmente que [tex3]\alpha=\pi /6[/tex3]
é a solução, daí:
[tex3]\frac{\cos(\pi/6)}{\pi/6}=\frac{mg}{Bil} \Longrightarrow \boxed{i=\frac{\pi m g}{3 \sqrt{3} Bl}}[/tex3]
