Pré-Vestibular ⇒ SIS(2019) Polinômios

[Polímero17]

Questão 43

As raízes do polinômio P(x) = x3 - 8x2 - 39x + 270 são todas inteiras. Sabendo que a diferença entre duas das raízes é igual a 4, a diferença entre a maior e a menor raiz é igual a

(A) 3.
(B) 6.
(C) 9.
(D) 12.
(E) 15.

Resposta

---

e

[petras]

Polímero17,
Pelas Relações de Girad:
[tex3]\mathsf{x_1.x_2.x_3=\frac{270}{1}=270\\
x_1+x_2+x_3=-\frac{(-8)}{1}=8(I)\\
x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{(-39)}{1}=-39(II)\\
x_1-x_2=4\rightarrow x_2=x_1-4(III)\\
(I)+(III) = 2x_1+x_3=12\rightarrow x_3=12-2x_1(IV)\\
(III)~e~(IV)~em (II): x_1(x_1-4)+x_1(12-2x_1)+(x_1-4)(12-2x_1)=-39\\
-3x_1^2+28x_1-9=0\rightarrow \cancel{x_1 = \frac{1}{3}}(não ~atende)~ou~ x_1=9\\
Em~III: x_2=9-4 = 5\\
Em~I: 9+5+x_3=8\rightarrow x_3=-6\\
\therefore 9-(-6) = \boxed{\mathsf{\color{Red}15}}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{x_1.x_2.x_3=\frac{270}{1}=270\\
x_1+x_2+x_3=-\frac{(-8)}{1}=8(I)\\
x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{(-39)}{1}=-39(II)\\
x_1-x_2=4\rightarrow x_2=x_1-4(III)\\
(I)+(III) = 2x_1+x_3=12\rightarrow x_3=12-2x_1(IV)\\
(III)~e~(IV)~em (II): x_1(x_1-4)+x_1(12-2x_1)+(x_1-4)(12-2x_1)=-39\\
-3x_1^2+28x_1-9=0\rightarrow \cancel{x_1 = \frac{1}{3}}(não ~atende)~ou~ x_1=9\\
Em~III: x_2=9-4 = 5\\
Em~I: 9+5+x_3=8\rightarrow x_3=-6\\
\therefore 9-(-6) = \boxed{\mathsf{\color{Red}15}}
}[/tex3]

[Juuh]

Polímero17,
Pelas Relações de Girad:
[tex3]\mathsf{x_1.x_2.x_3=\frac{270}{1}=270\\
x_1+x_2+x_3=-\frac{(-8)}{1}=8(I)\\
x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{(-39)}{1}=-39(II)\\
x_1-x_2=4\rightarrow x_2=x_1-4(III)\\
(I)+(III) = 2x_1+x_3=12\rightarrow x_3=12-2x_1(IV)\\
(III)~e~(IV)~em (II): x_1(x_1-4)+x_1(12-2x_1)+(x_1-4)(12-2x_1)=-39\\
-3x_1^2+28x_1-9=0\rightarrow \cancel{x_1 = \frac{1}{3}}(não ~atende)~ou~ x_1=9\\
Em~III: x_2=9-4 = 5\\
Em~I: 9+5+x_3=8\rightarrow x_3=-6\\
\therefore 9-(-6) = \boxed{\mathsf{\color{Red}15}}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{x_1.x_2.x_3=\frac{270}{1}=270\\
x_1+x_2+x_3=-\frac{(-8)}{1}=8(I)\\
x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{(-39)}{1}=-39(II)\\
x_1-x_2=4\rightarrow x_2=x_1-4(III)\\
(I)+(III) = 2x_1+x_3=12\rightarrow x_3=12-2x_1(IV)\\
(III)~e~(IV)~em (II): x_1(x_1-4)+x_1(12-2x_1)+(x_1-4)(12-2x_1)=-39\\
-3x_1^2+28x_1-9=0\rightarrow \cancel{x_1 = \frac{1}{3}}(não ~atende)~ou~ x_1=9\\
Em~III: x_2=9-4 = 5\\
Em~I: 9+5+x_3=8\rightarrow x_3=-6\\
\therefore 9-(-6) = \boxed{\mathsf{\color{Red}15}}
}[/tex3]

Por que no "-3x1² + 28x1 - 9" o x1 ficou 9? se o a (x²) é 3? Não ficaria 3?

[petras]

Juuh,

Equação de 2^o grau

[tex3]\mathsf{-3x_1^2+28x_1-9=0\\
\Delta = b^2-4ac=28^2-4(-3)(-9)=676\\
x_1=\frac{-28\pm\sqrt{676}}{2(-3)}=\frac{-28\pm 26}{-6}\rightarrow \\
x_1=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}~ou\\
x_1=\frac{-54}{-6}=9



} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{-3x_1^2+28x_1-9=0\\
\Delta = b^2-4ac=28^2-4(-3)(-9)=676\\
x_1=\frac{-28\pm\sqrt{676}}{2(-3)}=\frac{-28\pm 26}{-6}\rightarrow \\
x_1=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}~ou\\
x_1=\frac{-54}{-6}=9



} [/tex3]

[Juuh]

Juuh,

Equação de 2^o grau

[tex3]\mathsf{-3x_1^2+28x_1-9=0\\
\Delta = b^2-4ac=28^2-4(-3)(-9)=676\\
x_1=\frac{-28\pm\sqrt{676}}{2(-3)}=\frac{-28\pm 26}{-6}\rightarrow \\
x_1=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}~ou\\
x_1=\frac{-54}{-6}=9



} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{-3x_1^2+28x_1-9=0\\
\Delta = b^2-4ac=28^2-4(-3)(-9)=676\\
x_1=\frac{-28\pm\sqrt{676}}{2(-3)}=\frac{-28\pm 26}{-6}\rightarrow \\
x_1=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}~ou\\
x_1=\frac{-54}{-6}=9



} [/tex3]

Aaaaaah entendi, obggg