Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ) Números complexos Tópico resolvido

[thetruthFMA]

(UFRJ) Seja z o número complexo 2+3i/ α + i
onde α = a + bi. Determine o valor de α para que z seja um imaginário puro. Justifique.

Resposta

---

α = a - [(2a + 3)/3]i, a ≠ 0.

[csmarcelo]

[tex3]z=\frac{2+3i}{\alpha+i}=\frac{2+3i}{a+bi+i}=\frac{2+3i}{a+(b+1)i}=\frac{2+3i}{a+(b+1)i}\cdot\frac{a-(b+1)i}{a-(b+1)i}=\frac{2a-2(b+1)i+3ai+3(b+1)}{a^2+(b+1)^2}=\frac{(2a+3b+3)+(3a-2b-2)i}{a^2+(b+1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\frac{2+3i}{\alpha+i}=\frac{2+3i}{a+bi+i}=\frac{2+3i}{a+(b+1)i}=\frac{2+3i}{a+(b+1)i}\cdot\frac{a-(b+1)i}{a-(b+1)i}=\frac{2a-2(b+1)i+3ai+3(b+1)}{a^2+(b+1)^2}=\frac{(2a+3b+3)+(3a-2b-2)i}{a^2+(b+1)^2}[/tex3]

Logo, [tex3]z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z[/tex3]

será imaginário puro quando

[tex3]2a+3b+3=0\therefore b=-\frac{2a+3}{3}\therefore\alpha=a-\[\frac{2a+3}{3}\]i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2a+3b+3=0\therefore b=-\frac{2a+3}{3}\therefore\alpha=a-\[\frac{2a+3}{3}\]i[/tex3]

Mas, como condição de existência

[tex3]a+(b+1)i\neq0\therefore\begin{cases}a\neq0\\-\frac{2a+3}{3}+1\neq0\therefore a\neq0\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+(b+1)i\neq0\therefore\begin{cases}a\neq0\\-\frac{2a+3}{3}+1\neq0\therefore a\neq0\end{cases}[/tex3]