Pré-Vestibular ⇒ (UCS) Polinômios Tópico resolvido

[danimedrado]

A soma dos inversos das raízes da equação [tex3]2x^{3} - 5x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^{3} - 5x^{2}[/tex3]

+ 3x + 2 = 0 é igual a:
a) -[tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

.
b) -[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

.
c) -[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

.
d) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

.
e) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

.

[MateusQqMD]

Oi, Dani. Então, existe mais de uma forma de resolver essa questão, deixarei uma.

Seja [tex3]p(X) = 2x^3 -5x^2 +3x +2[/tex3]

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[tex3]p(X) = 2x^3 -5x^2 +3x +2[/tex3]

e [tex3]x_1, \,\, x_2 \,\,\, \text{e} \,\,\, x_3[/tex3]

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[tex3]x_1, \,\, x_2 \,\,\, \text{e} \,\,\, x_3[/tex3]

as raízes de [tex3]p(X).[/tex3]

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[tex3]p(X).[/tex3]

Assim, o pedido do enunciado é o valor de [tex3]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}.[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}.[/tex3]

Por Girard, podemos escrever:

[tex3]\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = \frac{5}{2} \\
x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{3}{2} \\
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = \frac{5}{2} \\
x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{3}{2} \\
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -1
\end{cases}[/tex3]

Desenvolvendo [tex3]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}[/tex3]

, temos:

[tex3]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{ x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3}{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3} \,\,\,\, \implies \,\,\,\, \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{3/2}{-1} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{-3}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{ x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3}{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3} \,\,\,\, \implies \,\,\,\, \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{3/2}{-1} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{-3}{2} [/tex3]