Ensino Superior ⇒ Questão serie Harmonica Tópico resolvido

[matrholambda]

Boa tarde, estou com uma questão que me está a fritar um pouco os meus neuronios.

aguem pode me ajudar?

an=1+[tex3]\frac{1}{2} + \frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2} + \frac{1}{3}[/tex3]

.... + [tex3]\frac{1}{n}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{n}[/tex3]

, n [tex3]\in \mathbb{N}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{N}[/tex3]

relativamente a subsucessão a [tex3]2^{n}[/tex3]

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[tex3]2^{n}[/tex3]

de an use o metodo de indução para provar que

a [tex3]2^{n}[/tex3]

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[tex3]2^{n}[/tex3]

[tex3]\geq [/tex3]

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[tex3]\geq [/tex3]

1+[tex3]\frac{n}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{n}{2}[/tex3]

, n [tex3]\in \mathbb{N}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{N}[/tex3]

Obrigado

[PeterPark]

Primeiro veja esse vídeo aqui, a partir da minutagem que eu coloquei: https://www.youtube.com/watch?v=8MjfOpAINUk&t=1395s

É uma harmonica simples, onde [tex3]a_{(2^n)}[/tex3]

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[tex3]a_{(2^n)}[/tex3]

é a soma de [tex3]2^n[/tex3]

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[tex3]2^n[/tex3]

termos e n "pacotinhos".
Exemplo: [tex3]n= 0 \rightarrow a_{(2^0)}=a_{1}=1 \\\ \\ n=1 \rightarrow a_{(2^1)}=a_{2}= 1+\frac{1}{2} \\\ \\ n=2 \rightarrow a_{(2^2)}=a_{4} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\\\ \\ n=3 \rightarrow a_{(2^3)}=a_{8} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]n= 0 \rightarrow a_{(2^0)}=a_{1}=1 \\\ \\ n=1 \rightarrow a_{(2^1)}=a_{2}= 1+\frac{1}{2} \\\ \\ n=2 \rightarrow a_{(2^2)}=a_{4} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\\\ \\ n=3 \rightarrow a_{(2^3)}=a_{8} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}[/tex3]

Vendo o vídeo, você chega à seguinte ideia(detalhe no simbolo de MAIOR usado a partir de n=2):
[tex3]n= 0 \rightarrow a_{1}=1 \\\ \\ n=1 \rightarrow a_{2}= 1+\frac{1}{2} \\\ \\ n=2 \rightarrow a_{4} > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\\ \\ n=3 \rightarrow a_{8} > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\\ \\ n=4 \rightarrow a_{16} > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\\ \\ n=5 \rightarrow a_{32} > 1+5\cdot\frac{1}{2} \\\ \\ \vdots \\\ \\ n=n \rightarrow a_{2^n}>1+n\cdot \frac{1}{2} \\\ \\ \forall n\in \mathbb{N}, ~~a_{2^n}>1+\frac{n}{2}[/tex3]

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[tex3]n= 0 \rightarrow a_{1}=1 \\\ \\ n=1 \rightarrow a_{2}= 1+\frac{1}{2} \\\ \\ n=2 \rightarrow a_{4} > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\\ \\ n=3 \rightarrow a_{8} > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\\ \\ n=4 \rightarrow a_{16} > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\\ \\ n=5 \rightarrow a_{32} > 1+5\cdot\frac{1}{2} \\\ \\ \vdots \\\ \\ n=n \rightarrow a_{2^n}>1+n\cdot \frac{1}{2} \\\ \\ \forall n\in \mathbb{N}, ~~a_{2^n}>1+\frac{n}{2}[/tex3]

use o metodo de indução

como método de indução simplesmente não é indução matemática/finita, o exercício deve estar pedindo indução vulgar, que foi o que eu usei acima.

[matrholambda]

Obrigado já conseGui perceber o exercício.
Eu estava a fazer um lim e não uma soma.