Seja [tex3]F=(r,\theta,t)=f(x,y,t)[/tex3]
onde [tex3]x=r\cos\theta[/tex3]
e [tex3]y=r\sen\theta[/tex3]
. Suponha que ([tex3]c\neq0[/tex3]
constante)
[tex3]\dfrac{\partial^2f}{\partial t^2}=c^2\left[\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\right][/tex3]
.
Mostre que
[tex3]\dfrac{\partial^2F}{\partial t^2}=c^2\left[\dfrac{\partial^2F}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2F}{\partial\theta^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F}{\partial r}\right][/tex3]
.
Ensino Superior ⇒ Regra da cadeia - derivadas parciais Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2021
08
09:28
Regra da cadeia - derivadas parciais
Editado pela última vez por Stich em 08 Set 2021, 09:30, em um total de 2 vezes.
Set 2021
08
14:10
Re: Regra da cadeia - derivadas parciais
Vou usar as seguintes notações para as derivadas parciais [tex3]\dfrac{\partial f}{\partial x}=f_x,\dfrac{\partial f}{\partial y}=f_y, \dfrac{\partial f}{\partial x\partial y}=f_{xy}\,\,\,\mbox{e}\,\,\,\dfrac{\partial f}{\partial y\partial x}=f_{yx}[/tex3]
as outras são análogas
Como [tex3]F(r,\theta,t)=f(x,y,t)[/tex3] , devemos mostrar que [tex3]F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=f_xx+f_yy[/tex3]
Derivando parcialmente em relação a r
[tex3]F_r=f_xx_r+f_yy_r+f_tt_r=\cos\theta f_x+\sen\theta f_y[/tex3] pois [tex3]t_r=0[/tex3]
Dividindo por r
[tex3]\dfrac{1}{r}F_r=\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x+\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y\quad\quad(1)[/tex3]
Derivando novamente em relação a r
[tex3]F_{rr}=(f_{xx}x_r+f_{yx}y_r+f_{tx}t_r)x_r+f_xx_{rr}+(f_{xy}x_r+f_{yy}y_r+f_{ty}t_r)y_r+f_yy_{rr}[/tex3]
Seja [tex3]x_r=\cos\theta,x_{rr}=0,y_r=\sen\theta\,\,\mbox{e}\,\,\,y_{rr}=0[/tex3] , substituindo temos
[tex3]F_{rr}=\cos^2\theta f_{xx}+2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+\sen^2\theta f_{yy}\quad\quad(2)[/tex3]
Derivando parcialmente em relação a [tex3]\theta[/tex3]
[tex3]F_{\theta}=f_xx_\theta+f_yy_\theta+f_tt_\theta=-r\cos\theta f_x+r\cos\theta f_y[/tex3]
Derivando novamente em relação a [tex3]\theta[/tex3]
[tex3]F_{\theta\theta}=(f_{xx}x_\theta+f_{yx}y_\theta+f_{ty}t_{\theta})x_\theta+f_xx_{\theta\theta}+(f_{xy}x_\theta+f_{yy}y_{\theta}+f_{tx}t_{\theta})y_{\theta}+f_yy_{\theta\theta}[/tex3]
Temos que [tex3]x_\theta=-r\sen\theta,y_\theta=rcos\theta,x_{\theta\theta}=-r\cos\theta,y_{\theta\theta}=-r\sen\theta\,\,\,\mbox{e}\,\,\,t_\theta=0[/tex3] , substituindo
[tex3]F_{\theta\theta}=r^2\sen^2\theta f_{xx}-2r^2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+r^2\cos^2f{yy}-r\cos\theta f_x-r\sen\theta f_y[/tex3]
Dividindo por [tex3]r^2[/tex3]
[tex3]\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}=\sen^2\theta f_{xx}-2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+cos^2f_{yy}-\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x-\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y\quad\quad(3)[/tex3]
Somando (1), (2) e (3), chegamos
[tex3]F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=(\cos^2\theta f_{xx}+2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+\sen^2\theta f_{yy})+(\sen^2\theta f_{xx}-2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+cos^2\theta f_{yy}-\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x-\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y)+(\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x+\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=f_{xx}+f_{yy}[/tex3]
Como [tex3]F(r,\theta,t)=f(x,y,t)[/tex3] , devemos mostrar que [tex3]F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=f_xx+f_yy[/tex3]
Derivando parcialmente em relação a r
[tex3]F_r=f_xx_r+f_yy_r+f_tt_r=\cos\theta f_x+\sen\theta f_y[/tex3] pois [tex3]t_r=0[/tex3]
Dividindo por r
[tex3]\dfrac{1}{r}F_r=\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x+\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y\quad\quad(1)[/tex3]
Derivando novamente em relação a r
[tex3]F_{rr}=(f_{xx}x_r+f_{yx}y_r+f_{tx}t_r)x_r+f_xx_{rr}+(f_{xy}x_r+f_{yy}y_r+f_{ty}t_r)y_r+f_yy_{rr}[/tex3]
Seja [tex3]x_r=\cos\theta,x_{rr}=0,y_r=\sen\theta\,\,\mbox{e}\,\,\,y_{rr}=0[/tex3] , substituindo temos
[tex3]F_{rr}=\cos^2\theta f_{xx}+2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+\sen^2\theta f_{yy}\quad\quad(2)[/tex3]
Derivando parcialmente em relação a [tex3]\theta[/tex3]
[tex3]F_{\theta}=f_xx_\theta+f_yy_\theta+f_tt_\theta=-r\cos\theta f_x+r\cos\theta f_y[/tex3]
Derivando novamente em relação a [tex3]\theta[/tex3]
[tex3]F_{\theta\theta}=(f_{xx}x_\theta+f_{yx}y_\theta+f_{ty}t_{\theta})x_\theta+f_xx_{\theta\theta}+(f_{xy}x_\theta+f_{yy}y_{\theta}+f_{tx}t_{\theta})y_{\theta}+f_yy_{\theta\theta}[/tex3]
Temos que [tex3]x_\theta=-r\sen\theta,y_\theta=rcos\theta,x_{\theta\theta}=-r\cos\theta,y_{\theta\theta}=-r\sen\theta\,\,\,\mbox{e}\,\,\,t_\theta=0[/tex3] , substituindo
[tex3]F_{\theta\theta}=r^2\sen^2\theta f_{xx}-2r^2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+r^2\cos^2f{yy}-r\cos\theta f_x-r\sen\theta f_y[/tex3]
Dividindo por [tex3]r^2[/tex3]
[tex3]\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}=\sen^2\theta f_{xx}-2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+cos^2f_{yy}-\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x-\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y\quad\quad(3)[/tex3]
Somando (1), (2) e (3), chegamos
[tex3]F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=(\cos^2\theta f_{xx}+2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+\sen^2\theta f_{yy})+(\sen^2\theta f_{xx}-2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+cos^2\theta f_{yy}-\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x-\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y)+(\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x+\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=f_{xx}+f_{yy}[/tex3]
Editado pela última vez por Lliw em 08 Set 2021, 14:27, em um total de 5 vezes.
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