Ensino Médio ⇒ Função afim - Pontos colineares Tópico resolvido

[inguz]

Prove que os pontos A(2, 3k - 2), B(6, 11k - 18) e C(1, k+2) são colineares para qualquer valor real de k:

Resposta

---

demonstração

[NigrumCibum]

Três pontos [tex3]A(x_A, y_A)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(x_A, y_A)[/tex3]

, [tex3]B(x_B, y_B)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B(x_B, y_B)[/tex3]

e [tex3]C(x_C, y_C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C(x_C, y_C)[/tex3]

estão alinhados se, e somente se, o determinante da matriz formada pelas coordenadas for nulo, ou seja:
[tex3]\left|\begin{array}{rcr}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right|=0.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left|\begin{array}{rcr}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right|=0.[/tex3]

[inguz]

Oie NigrumCibum teria outra forma de resolver ??? ainda n estudei matriz.. essa questão apareceu no capítulo de função afim, obg sempre pelas suas resoluções

[NigrumCibum]

20210810_172954.jpg (18.33 KiB) Exibido 642 vezes

A, B, C serão colineares se, e somente se, [tex3]\frac{PC}{PA}=\frac{QA}{QB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{PC}{PA}=\frac{QA}{QB}[/tex3]

, pois os triângulos ABC e APC serão semelhantes.
Como [tex3]\frac{PC}{PA}=\frac{1}{2k-4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{PC}{PA}=\frac{1}{2k-4}[/tex3]

e [tex3]\frac{QA}{QB}=\frac{4}{8k-16}=\frac{1}{2k-4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{QA}{QB}=\frac{4}{8k-16}=\frac{1}{2k-4}[/tex3]

, então [tex3]\frac{PC}{PA}=\frac{QA}{QB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{PC}{PA}=\frac{QA}{QB}[/tex3]

, o que implica que A, B, C são colineares.