Ensino Superior

Fgui314 · Mensagem não lida por **Fgui314** » 16 Jul 2021, 14:16

Seja B = Zx Z. Considerando as operações a seguir, verifique se elas são associativas e/ou comutativas.

No anexo ta escrito melhor, alguém me ajuda.

Mensagem não lidapor **deOliveira** » 16 Jul 2021, 14:51 · Mensagem não lida por **deOliveira** » 16 Jul 2021, 14:51

[tex3]B=\mathbb Z\times\mathbb Z[/tex3]
Sejam [tex3](a,b),(p,q),(x,y)\in B[/tex3]

a) [tex3](a,b)\oplus(x,y)=(ax-by,ay+bx)[/tex3]

[tex3]((a,b)\oplus(p,q))\oplus(x,y)=\\(ap-bq,aq+bp)\oplus(x,y)=\\((ap-bq)x-(aq+bp)y,(ap-bq)y+(aq+bp)x)=\\
(apx-bqx-aqy-bpy,apy-bqy+aqx+bpx)=\\
(a(px-qy)-b(py+qx),a(py+qx)+b(px-qy)=\\
(a,b)\oplus(px-qy,py+qx)=\\
(a,b)\oplus((p,q)\oplus(x,y))[/tex3]

Portanto, [tex3]\oplus[/tex3] é associativa.

[tex3](a,b)\oplus(x,y)=\\(ax-by,ay+bx)=\\(xa-yb,xb+ya)=\\(x,y)\oplus(a,b)[/tex3]

Portanto, [tex3]\oplus[/tex3] é comutativa.

b) [tex3](a,b)\diamond(x,y)=(a+x,by)[/tex3]

[tex3]((a,b)\diamond(p,q))\diamond(x,y)=\\
(a+p,bq)\diamond(x,y)=\\((a+p)+x,(bq)y))=\\(a+(p+x),b(qy))=\\(a,b)\diamond(p+x,qy)=\\(a,b)\diamond((p,q)\diamond(x,y))[/tex3]

Portanto, [tex3]\diamond[/tex3] é associativa.

[tex3](a,b)\diamond(x,y)=\\(a+x,by)=\\(x+a,yb)=\\(x,y)\diamond(a,b)[/tex3]

Portanto, [tex3]\diamond[/tex3] é comutativa.

Espero ter ajudado.

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