Ensino Fundamental ⇒ Região hachurada em um triângulo inscrito Tópico resolvido

[geobson]

Outro exemplos pertinentes.....

[petras]

Demonstração: O simétrico do ortocentro em relação a um lado pertence à circunferência circunscrita.

Dado um triângulo ABC inscrito em uma circunferência.
Traçando pelos vértices segmentos perpendiculares aos lados opostos teremos as alturas AD, BE e CF que se cortam em H, ortocentro de ABC. As retas suportes das alturas cortarão a circunferência em M, N e P respectivamente.
Proposição:
DH = DM, EH = EM e FH =FP
Demonstração: [tex3]\mathtt{Se \angle DAB = \alpha
~e~ \angle ABC = \gamma ~então ~\alpha~ e~ \gamma ~são~ complementares ~e ~ \angle FCB = 90^o-\gamma = \alpha, ~pois~ o~ \triangle FCB ~é~ retângulo. \\
Além ~disso, \angle DAB ~e~ \angle MCB\text{ são ângulos inscritos relativos ao mesmo arco BM}, \therefore \angle MCB = \alpha.\\
\triangle CHD \cong \triangle MCD (A.L.A.) \therefore DH = MD ~c.q.d}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{Se \angle DAB = \alpha
~e~ \angle ABC = \gamma ~então ~\alpha~ e~ \gamma ~são~ complementares ~e ~ \angle FCB = 90^o-\gamma = \alpha, ~pois~ o~ \triangle FCB ~é~ retângulo. \\
Além ~disso, \angle DAB ~e~ \angle MCB\text{ são ângulos inscritos relativos ao mesmo arco BM}, \therefore \angle MCB = \alpha.\\
\triangle CHD \cong \triangle MCD (A.L.A.) \therefore DH = MD ~c.q.d}[/tex3]

Repetindo o mesmo raciocínio para os outros lados temos provada a proposição.}
(Fonte:RPM55)