Concluir que a soma das raízes de índice n, de um número qualquer é sempre zero.
OBS: O enunciado está EXATAMENTE assim.
Sei que está incompleto pois não especifica o conjunto numérico, mas gostaria da demonstração mais abrangente possível...
Ensino Médio ⇒ (Rufino) Números complexos Tópico resolvido
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παθμ
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Out 2023
20
22:39
Re: (Rufino) Números complexos
Dado um número complexo [tex3]z=\rho e^{i\theta},[/tex3]
suas raízes n-ésimas são os complexos [tex3]w=|w|e^{i\phi}[/tex3]
tais que [tex3]w^n=z.[/tex3]
Temos então [tex3]|w|=\rho^{1/n},[/tex3] e [tex3]e^{ni \phi}=e^{i\theta} \Longrightarrow n\phi=\theta+2k\pi \Longrightarrow \phi=\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n},[/tex3] [tex3]k=0,\; 1,\;2,...[/tex3]
Os valores de [tex3]k[/tex3] só geram novos valores de [tex3]w[/tex3] até um determinado ponto. Chegado o momento em que [tex3]\frac{2k\pi}{n}=2\pi,[/tex3] começamos a contar soluções repetidas, já que [tex3]\theta+2\pi[/tex3] equivale a [tex3]\theta.[/tex3]
Ou seja, o [tex3]k[/tex3] no qual isso ocorre é [tex3]k'=n.[/tex3] Então nós temos [tex3]n[/tex3] raízes ([tex3]k[/tex3] no intervalo [tex3][0, \; n-1][/tex3] ) [tex3]w=\rho^{1/n}\exp\left(i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right).[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}w=\rho^{1/n}e^{i\theta/n}\sum_{k=0}^ {n-1}\exp\left(i\frac{2k\pi}{n}\right).[/tex3]
O somatório dos exps acima é uma PG: [tex3]a_0=1,[/tex3] [tex3]q=e^{2i\pi/n},[/tex3] [tex3]N=n.[/tex3]
[tex3]S=\frac{a_0(q^N-1)}{q-1}=\frac{e^{2i\pi}-1}{e^{2i\pi/n}-1}=\frac{1-1}{e^{2i\pi/n}-1}=0.[/tex3]
Logo, [tex3]\sum_{k=0}^{n-1}w=0,[/tex3] C.Q.D
Temos então [tex3]|w|=\rho^{1/n},[/tex3] e [tex3]e^{ni \phi}=e^{i\theta} \Longrightarrow n\phi=\theta+2k\pi \Longrightarrow \phi=\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n},[/tex3] [tex3]k=0,\; 1,\;2,...[/tex3]
Os valores de [tex3]k[/tex3] só geram novos valores de [tex3]w[/tex3] até um determinado ponto. Chegado o momento em que [tex3]\frac{2k\pi}{n}=2\pi,[/tex3] começamos a contar soluções repetidas, já que [tex3]\theta+2\pi[/tex3] equivale a [tex3]\theta.[/tex3]
Ou seja, o [tex3]k[/tex3] no qual isso ocorre é [tex3]k'=n.[/tex3] Então nós temos [tex3]n[/tex3] raízes ([tex3]k[/tex3] no intervalo [tex3][0, \; n-1][/tex3] ) [tex3]w=\rho^{1/n}\exp\left(i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right).[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}w=\rho^{1/n}e^{i\theta/n}\sum_{k=0}^ {n-1}\exp\left(i\frac{2k\pi}{n}\right).[/tex3]
O somatório dos exps acima é uma PG: [tex3]a_0=1,[/tex3] [tex3]q=e^{2i\pi/n},[/tex3] [tex3]N=n.[/tex3]
[tex3]S=\frac{a_0(q^N-1)}{q-1}=\frac{e^{2i\pi}-1}{e^{2i\pi/n}-1}=\frac{1-1}{e^{2i\pi/n}-1}=0.[/tex3]
Logo, [tex3]\sum_{k=0}^{n-1}w=0,[/tex3] C.Q.D
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