Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Edu202** » 21 Abr 2020, 15:33 · Mensagem não lida por **Edu202** » 21 Abr 2020, 15:33

Alguém poderia me ajudar nessa questão, anexo abaixo.

Se [tex3]f: \[2, \infty \] \to \[ 1, \infty\][/tex3] é dada por [tex3]f(x) = x^2 -4x + 5,[/tex3] mostre que [tex3]f[/tex3] é uma bijeção e, em seguida, encontre os pontos comuns aos gráficos de [tex3]f[/tex3] e [tex3]f^{-1}.[/tex3]

Mensagem não lidapor **edinaely84** » 22 Abr 2020, 00:13 · Mensagem não lida por **edinaely84** » 22 Abr 2020, 00:13

Não faz sentido o domínio e nem o contradominio da função que você postou.

Mensagem não lidapor **deOliveira** » 22 Abr 2020, 01:39 · Mensagem não lida por **deOliveira** » 22 Abr 2020, 01:39

[tex3]f:[2,+\infty[\rightarrow[1,+\infty[[/tex3] com [tex3]f(x)=x^2-4x+5[/tex3] .

Injetividade:

Sejam [tex3]a,b\in[2,+\infty[[/tex3] tais que [tex3]f(a)=f(b)[/tex3] . Quero provar que [tex3]a=b[/tex3] .

[tex3]f(a)=f(b)\\\implies a^2-4a+5=b^2-4b+5\\\implies a^2-b^2-4a+4b=0\\\implies (a+b)(a-b)-4(a-b)=0\\\implies (a+b+4)(a-b)=0\\
\implies \underbrace{(a-b)=0}_{(I)}\ ou\ \underbrace{(a+b-4)=0}_{(II)}[/tex3]

[tex3](I):\ a-b=0\implies a=b[/tex3]

[tex3](II):\ a+b-4=0\implies a+b=4[/tex3]

Temos que [tex3]a,b\ge2[/tex3] .

Se [tex3]a=2[/tex3] para que [tex3]a+b=4[/tex3] devemos ter que [tex3]b=2[/tex3] , logo [tex3]a=b[/tex3] .

Agora se [tex3]a>2[/tex3] para que [tex3]a+b=4[/tex3] temos que [tex3]b<2[/tex3] o que é impossível, dado o domínio da função.

Então provamos a injetividade de [tex3]f[/tex3] .

Sobrejetividade:

Seja [tex3]t\in[1,+\infty[[/tex3] . Quero provar que existe [tex3]x\in [2,+\infty[[/tex3] tal que [tex3]x^2-4x+5=t[/tex3] .

[tex3]x^2-4x+5=t\\\implies x^2-4x+5-t=0\\\implies \Delta=16-4(5-t)[/tex3]

Temos que:

[tex3]t\ge1\\\implies -t\le-1\\\implies 5-t\le4\\\implies -4(5-t)\ge-16\\\implies16-4(5-t)\ge0\\\therefore\Delta\ge0[/tex3]

Com isso temos que a solução é:

[tex3]x=2\pm\frac{\sqrt\Delta}2[/tex3] .

[tex3]\sqrt\Delta\ge0\implies x=2+\frac{\sqrt\Delta}2\ge2[/tex3] . Logo, existe [tex3]x\in[2,+\infty[[/tex3] tal que [tex3]x^2-4x+5=t[/tex3] .

Agora para encontrar os pontos comuns aos gráficos de [tex3]f[/tex3] e [tex3]f^{-1}[/tex3] temos de encontrar os pontos em que [tex3]f(x)=x[/tex3] .

[tex3]f(x)=x\\\implies x^2-4x+5=x\\\implies x^2-5x+5=0\\\implies\Delta=5\\\implies x=2+\frac{\sqrt5}2,\ (x\ge2)[/tex3] .

Espero ter ajudado

.

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