Olimpíadas

28 Jan 2020, 16:03

Mostre que se [tex3]\mdc(a,b) = 1[/tex3] , então:
[tex3]\mdc(a + b,a^2 − ab + b^2) = 1\text{ ou } 3[/tex3]

Expliquem o mais detalhado possível por favor, obrigado!!!

Mensagem não lidapor **deOliveira** » 29 Jan 2020, 14:17 · Mensagem não lida por **deOliveira** » 29 Jan 2020, 14:17

Teorema de Euclides: Sejam [tex3]a,b,c\in\mathbb Z[/tex3] tais que [tex3]a|bc[/tex3] . Se [tex3]\mdc(a,b)=1[/tex3] então [tex3]a|c[/tex3] .

PARTE (I)
Primeiro vamos provar que se [tex3]x|(a+b)[/tex3] então [tex3]\mdc(x,b)=1[/tex3] .
Seja [tex3]y\in\mathbb Z_+[/tex3] tal que [tex3]y|x[/tex3] e [tex3]y|b[/tex3] , ou seja, [tex3]y[/tex3] é um divisor comum de [tex3]x[/tex3] e [tex3]b[/tex3] . (O que vamos fazer é concluir que [tex3]y|1[/tex3] e daí o máximo divisor comum positivo de [tex3]x[/tex3] e [tex3]b[/tex3] será [tex3]1[/tex3] )

Vamos concluir que [tex3]y|(a+b)[/tex3] :
[tex3]y|x\implies x=ly[/tex3]
[tex3]x|(a+b)\implies a+b=kx\implies a+b=k(ly)\implies\boxed{y|(a+b)}[/tex3]

Agora sabendo que [tex3]y|(a+b)[/tex3] e [tex3]y|b[/tex3] vamos concluir que [tex3]y|a[/tex3] :
[tex3]y|b\implies b=my[/tex3]
Do passo anterior temos que
[tex3]a+b=kly[/tex3]
Substituindo [tex3]b=my[/tex3]
[tex3]a+my=kly\implies a=kly-my=y(kl-m)a\implies\boxed{y|a}[/tex3]

Então temos que [tex3]y|a[/tex3] e [tex3]y|b[/tex3] , logo [tex3]y|\mdc(a,b)=1[/tex3] daí [tex3]y=1[/tex3] é a unica possibilidade.
E portanto [tex3]\mdc(x,b)=1[/tex3] .

PARTE (II) (o exercício)
Seja [tex3]x\in\mathbb Z_+[/tex3] tal que [tex3]x|(a+b)[/tex3] e [tex3]x|(a^2-ab+b^2)[/tex3] , ou seja, [tex3]x[/tex3] é um divisor comum positivo de [tex3](a+b)[/tex3] e de [tex3](a^2-ab+b^2)[/tex3] .

[tex3]x|(a+b)\implies x|(a+b)^2=(a^2+2ab+b^2)[/tex3]

Então temos [tex3]x|(a^2-ab+b^2)[/tex3] e [tex3]x|(a^2+2ab+b^2)[/tex3] , fazendo a diferença temos que [tex3]x|3ab[/tex3] .

[tex3]x|3ab[/tex3] e da PARTE (I) temos que [tex3]\mdc(x,b)=1[/tex3] , logo, pelo Teorema de Euclides, [tex3]x|3a[/tex3] .

Agora a gente vai dividir a resolução em duas partes, uma em que [tex3]\MDC(x,3)=1[/tex3] e outra em que [tex3]\MDC(x,3)=3[/tex3] . (Note que essas são as únicas possibilidades já que [tex3]3[/tex3] é primo.)

[tex3]\boxed{\MDC(x,3)=1}:[/tex3]
[tex3]x|3a[/tex3] e [tex3]\mdc(3,x)=1[/tex3] então, pelo Teorema de Euclides [tex3]x|a[/tex3] .

[tex3]x|a\implies a=mx[/tex3]
[tex3]x|(a+b)\implies a+b=nx[/tex3]
Substituindo [tex3]a=mx[/tex3] :
[tex3]mx+b=nx\implies b=x(n-m)\implies x|b[/tex3]

[tex3]x|a[/tex3] e [tex3]x|b[/tex3] , logo [tex3]x|\mdc(a,b)=1[/tex3] então [tex3]x=1[/tex3] e portanto [tex3]\MDC(a+b,a^2-ab+b^2)=1[/tex3]

[tex3]\boxed{\MDC(x,3)=3}:[/tex3]
[tex3]\MDC(x,3)=3\implies\ x[/tex3] é da forma [tex3]3k[/tex3]
Como [tex3]x|3a[/tex3] temos que [tex3]3k|3a\implies k|a[/tex3]

[tex3]x=3k\\x|(a+b)\implies a+b=xn=3kn\\k|a\implies a=mk[/tex3]
Substituindo [tex3]a=mk[/tex3] em [tex3]a+b=3kn[/tex3] temos
[tex3]mk+b=3kn\implies b=k(3n-m)\implies k|b[/tex3]

[tex3]k|a[/tex3] e [tex3]k|b[/tex3] , logo [tex3]k|\mdc(a,b)=1[/tex3] então [tex3]k=1[/tex3] , logo [tex3]x=3\cdot1=3[/tex3] .
Dessa forma, provamos que os únicos divisores comuns positivos de [tex3](a+b)[/tex3] e [tex3](a^2-ab+b^2)[/tex3] são [tex3]1[/tex3] e [tex3]3[/tex3] .
Logo, [tex3]\MDC(a+b,a^2-ab+b^2)=3[/tex3]

Essa resolução foi baseada na resolução do livro Números: Uma Introdução à Matemática de César Polcino Milies e Sônia Potta Coelho.
Bom, eu sabia que eu já tinha feito esse exercício então fui procurar nesse livro que eu usei na faculdade e achei.
A resolução está bem longa porque eu tentei fazer o mais detalhado possível, então tem algumas partes com raciocínio repetido.

Espero ter ajudado

.

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