2x^y-x^{-y}=1 \\
log_2\ y=\sqrt{x}
\end{cases}[/tex3]
Resposta
S={(1,2)}
Ensino Médio ⇒ Sistema de Equações Logarítmicas
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Auto Excluído (ID:20100)
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Set 2018
08
08:51
Sistema de Equações Logarítmicas
FME Vol2 B.171) [tex3]\begin{cases}
2x^y-x^{-y}=1 \\
log_2\ y=\sqrt{x}
\end{cases}[/tex3]
S={(1,2)}
2x^y-x^{-y}=1 \\
log_2\ y=\sqrt{x}
\end{cases}[/tex3]
S={(1,2)}
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:20100) em 08 Set 2018, 12:43, em um total de 1 vez.
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Presa
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Set 2018
08
12:37
Re: Sistema de Equações Logarítmicas
Olá !!
Tem certeza que a questão está assim ??
No meu livro está assim :
[tex3]\begin{cases}
2x^y-x^{-y}=1 \\
log_2\ y=\sqrt{x}
\end{cases}[/tex3]
Tem certeza que a questão está assim ??
No meu livro está assim :
[tex3]\begin{cases}
2x^y-x^{-y}=1 \\
log_2\ y=\sqrt{x}
\end{cases}[/tex3]
"Não reclame, apenas se esforce mais."
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Auto Excluído (ID:20100)
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Set 2018
08
12:44
Re: Sistema de Equações Logarítmicas
No seu livro está certo,Presa, obrigada por notar!
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Presa
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Set 2018
08
14:43
Re: Sistema de Equações Logarítmicas
Bom, se for assim, tenho uma solução :
I) Usando a primeira linha temos o seguinte : 2 [tex3]x^{y} - x^{-y}[/tex3] =1 [tex3]\rightarrow [/tex3] 2 [tex3]x^{y} - \frac{1}{x^{y}}[/tex3] =1 [tex3]\rightarrow [/tex3] 2([tex3]x^{y}[/tex3] )^2-1=[tex3]x^{y}\rightarrow [/tex3] 2([tex3]x^{y}[/tex3] )^2-[tex3]x^{y}[/tex3] -1=0 [tex3]\rightarrow [/tex3] Chamando [tex3]x^{y}[/tex3] =t [tex3]\rightarrow [/tex3] 2 [tex3]t^{2}[/tex3] -t-1=0 [tex3]\rightarrow [/tex3] Resolvendo a equação do 2º grau, achamos as raízes 1 ou [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]
II) Então temos que [tex3]x^{y}[/tex3] =1 ou [tex3]x^{y} = \frac{-1}{2}\rightarrow [/tex3] aplicando log nas raízes [tex3]\rightarrow [/tex3] obtemos o seguinte : log [tex3]x^{y}[/tex3] =log1 e log [tex3]x^{y}[/tex3] =log [tex3]\left(\frac{-1}{2}\right)[/tex3]
III) No primeiro caso temos o seguinte log [tex3]x^{y}[/tex3] = 0 e no segundo log [tex3]x^{y}[/tex3] = INDEFINIDO, logo excluímos a raíz [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]
IV) Sabendo que [tex3]x^{y}[/tex3] =1, pela propriedade de potência temos os seguintes casos para um número ser elevado a outro e der 1, ou ele é do tipo [tex3]n^{0}[/tex3] ou [tex3]1^{n}\rightarrow [/tex3] ou seja x pode ser qualquer número e y ser igual a 0 OU x=1 e y=qualquer número.
V)Voltando para a segunda equação do sistema temos que : [tex3]log_{2}[/tex3] y=[tex3]\sqrt{x}\rightarrow [/tex3] [tex3]2^{\sqrt{x}}[/tex3] =y [tex3]\rightarrow [/tex3] Testando o que foi dito no passo IV) [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]2^{\sqrt{x}}[/tex3] =y [tex3]\rightarrow 2^{\sqrt{n}}[/tex3] =0, impossível [tex3]\rightarrow [/tex3] Usando o segundo caso [tex3]2^{\sqrt{1}}[/tex3] =n, é válido [tex3]\rightarrow [/tex3] Logo, a solução do sistema é x=1 e y = 2
Espero que tenha entendido, qualquer dúvida é só falar. Bons Estudos !!
I) Usando a primeira linha temos o seguinte : 2 [tex3]x^{y} - x^{-y}[/tex3] =1 [tex3]\rightarrow [/tex3] 2 [tex3]x^{y} - \frac{1}{x^{y}}[/tex3] =1 [tex3]\rightarrow [/tex3] 2([tex3]x^{y}[/tex3] )^2-1=[tex3]x^{y}\rightarrow [/tex3] 2([tex3]x^{y}[/tex3] )^2-[tex3]x^{y}[/tex3] -1=0 [tex3]\rightarrow [/tex3] Chamando [tex3]x^{y}[/tex3] =t [tex3]\rightarrow [/tex3] 2 [tex3]t^{2}[/tex3] -t-1=0 [tex3]\rightarrow [/tex3] Resolvendo a equação do 2º grau, achamos as raízes 1 ou [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]
II) Então temos que [tex3]x^{y}[/tex3] =1 ou [tex3]x^{y} = \frac{-1}{2}\rightarrow [/tex3] aplicando log nas raízes [tex3]\rightarrow [/tex3] obtemos o seguinte : log [tex3]x^{y}[/tex3] =log1 e log [tex3]x^{y}[/tex3] =log [tex3]\left(\frac{-1}{2}\right)[/tex3]
III) No primeiro caso temos o seguinte log [tex3]x^{y}[/tex3] = 0 e no segundo log [tex3]x^{y}[/tex3] = INDEFINIDO, logo excluímos a raíz [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]
IV) Sabendo que [tex3]x^{y}[/tex3] =1, pela propriedade de potência temos os seguintes casos para um número ser elevado a outro e der 1, ou ele é do tipo [tex3]n^{0}[/tex3] ou [tex3]1^{n}\rightarrow [/tex3] ou seja x pode ser qualquer número e y ser igual a 0 OU x=1 e y=qualquer número.
V)Voltando para a segunda equação do sistema temos que : [tex3]log_{2}[/tex3] y=[tex3]\sqrt{x}\rightarrow [/tex3] [tex3]2^{\sqrt{x}}[/tex3] =y [tex3]\rightarrow [/tex3] Testando o que foi dito no passo IV) [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]2^{\sqrt{x}}[/tex3] =y [tex3]\rightarrow 2^{\sqrt{n}}[/tex3] =0, impossível [tex3]\rightarrow [/tex3] Usando o segundo caso [tex3]2^{\sqrt{1}}[/tex3] =n, é válido [tex3]\rightarrow [/tex3] Logo, a solução do sistema é x=1 e y = 2
Espero que tenha entendido, qualquer dúvida é só falar. Bons Estudos !!
Editado pela última vez por Presa em 08 Set 2018, 14:44, em um total de 2 vezes.
"Não reclame, apenas se esforce mais."
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