Ensino Superior ⇒ Função Diferenciável Tópico resolvido

[Guferreira]

Determine as constantes [tex3]a, b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a, b[/tex3]

e [tex3]c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c[/tex3]

para quais a função [tex3]f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)[/tex3]

seja diferenciável.
[tex3]f(x)=\begin{cases}
cx^2 + 4x +1, x\geq 1; \\
ax + b, x<1.
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\begin{cases}
cx^2 + 4x +1, x\geq 1; \\
ax + b, x<1.
\end{cases}[/tex3]

[undefinied3]

O único ponto que pode dar problema é x=1.

Façamos a derivada pela definição. Deve existir o limite:
[tex3]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex3]

Mas quando h tende pela direita, f é definida de uma forma, e quando tende pela esquerda, é definida de outra forma:
[tex3]\lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{c(1+h)^2+4(1+h)+1-c-4-1}{h}=\frac{2ch+ch^2+4h}{h}=2c+hc+4 = 2c+4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{c(1+h)^2+4(1+h)+1-c-4-1}{h}=\frac{2ch+ch^2+4h}{h}=2c+hc+4 = 2c+4[/tex3]

[tex3]\lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{a(1+h)+b-a-b}{h}=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{a(1+h)+b-a-b}{h}=a[/tex3]

Então pro limite existir devemos ter [tex3]2c+4=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2c+4=a[/tex3]