Olimpíadas ⇒ (Czech and Slovak) Equação Polinomial Tópico resolvido

[Babi123]

Determine todos os números reais [tex3]s[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s[/tex3]

tais que:
[tex3]4x^4-20x^3+sx+22x-2=0[/tex3]

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[tex3]4x^4-20x^3+sx+22x-2=0[/tex3]

possui quatro raízes reais e distintas tais que o produto de duas dessas raízes seja [tex3]−2[/tex3]

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[tex3]−2[/tex3]

.

[Andre13000]

Pode verificar se a equação está correta? O termo de coeficiente s parece estranho, não era pra ser um x²?

[Andre13000]

Sejam as raízes a,b,c,d tal que ab=-2.

[tex3]abcd=-1/2\\
ab=-2\\
cd=1/4\\
bcd+acd+abd+abc=-11/2\\
b/4+a/4-2d-2c=-11/2\\
a+b+c+d=5\\
\to a+b=2 ;~c+d=3[/tex3]

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[tex3]abcd=-1/2\\
ab=-2\\
cd=1/4\\
bcd+acd+abd+abc=-11/2\\
b/4+a/4-2d-2c=-11/2\\
a+b+c+d=5\\
\to a+b=2 ;~c+d=3[/tex3]

Dessa forma, facilmente temos que [tex3]a=1-\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]a=1-\sqrt{3}[/tex3]

, [tex3]b=1+\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]b=1+\sqrt{3}[/tex3]

, [tex3]c=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]c=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}[/tex3]

e [tex3]d=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]d=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}[/tex3]

, todas diferentes. A partir desses valores, é possível determinar s.

Visto que [tex3]s/4=(a+b)(c+d)+ab+cd=2\cdot 3-2+1/4=17/4[/tex3]

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[tex3]s/4=(a+b)(c+d)+ab+cd=2\cdot 3-2+1/4=17/4[/tex3]

Desse modo, existe um único valor de s que satisfaz as condições pedidas, s=17.