Física I ⇒ Movimento bidimensional - Moysés

[4N73N0R]

Um jogador de futebol inexperiente chuta um pênalti a 9 m do gol, levantando a bola com velocidade inicial de 15 m/s. A altura da trave é de 2,4 m. Calcule:
a) a que distância máxima da trave, atrás do gol, um apanhador de bola pode ficar agachado, e
b) a que distância mínima devem ficar os espectadores, para que não corram risco nenhum de levar uma bolada.
GABARITO

Resposta

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GABARITO
A, 9,56m
B, 18,7m

[Deleted User 23699]

Questão estranha do Nussenzveig. Essa é minha tentativa:

Conceito: se os ângulos são complementares, o alcance de um disparo feito com cada um deles é o mesmo. Ex.: o alcance do disparo feito a 30º é igual ao alcance do disparo feito a 60º.

Sob qual condição nosso disparo irá atingir o travessão? Teremos 0, 1 ou 2 ângulos que irão atingir.
Vamos encontrar a equação da trajetória do projétil:
[tex3]x(t)=15.cos\theta . t\\
y=15sen\theta.t-5t^2\\
\rightarrow \text{isole t na primeira e substitua na segunda}\\
\frac{5x^2}{15^2}tg^2\theta-xtg\theta+\left(\frac{5x^2}{15^2}+y\right)=0\\
\rightarrow \text{substitua (x ; y)=(9 ; 2,4)}
\\1,8tg^2\theta-9tg\theta+4,2=0\\
\rightarrow \text{encontre os dois valores de tg que verificam isso e posteriormente os dois ângulos theta}\\
tg\theta_1\approx4,47906\rightarrow \theta_1=77.4144809º\\
tg\theta_2\approx0,520943\rightarrow \theta_2=27.51694506º\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x(t)=15.cos\theta . t\\
y=15sen\theta.t-5t^2\\
\rightarrow \text{isole t na primeira e substitua na segunda}\\
\frac{5x^2}{15^2}tg^2\theta-xtg\theta+\left(\frac{5x^2}{15^2}+y\right)=0\\
\rightarrow \text{substitua (x ; y)=(9 ; 2,4)}
\\1,8tg^2\theta-9tg\theta+4,2=0\\
\rightarrow \text{encontre os dois valores de tg que verificam isso e posteriormente os dois ângulos theta}\\
tg\theta_1\approx4,47906\rightarrow \theta_1=77.4144809º\\
tg\theta_2\approx0,520943\rightarrow \theta_2=27.51694506º\\
[/tex3]

Isso significa que, se o jogador for chutar por cima da trave, no mínimo terá que chutar com 27,51º. Um ângulo menor que esse, a bola vai no gol.
Essa é a condição de menor alcance atrás do gol. É uma zona de segurança.
Algo representado aproximadamente por isso:

parabola.png (1.16 KiB) Exibido 1261 vezes

Dentro dessa região o apanhador deverá ficar, é impossível a bola ir ali naquela região amarela.
Aqui é uma parte um pouco confusa: mas e se o jogador chutar a bola com um Ângulo maior do que 77,41º?
Não sei qual justificativa seria usada para isso. Segundo o que vimos, que ângulos complementares possuem mesmo alcance, por mais que ângulos menores do que 27,51º vão no gol, ângulos maiores do que 77,41º deveriam atingir aquela região ali.
Não teria uma região "de proteção" para o apanhador.

Mas se você ignorar esses ângulos maiores do que 77,41º, aí basta usar
[tex3]A=\frac{V^2sen2\theta}{g}\rightarrow A=9,56m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{V^2sen2\theta}{g}\rightarrow A=9,56m[/tex3]

Como a trave está a 9m, o apanhador deveria ficar a 0,56m, ignorando esses lançamentos com ângulos maiores que 77,41º

b) Essa situação é a de alcance máximo. Do jeito que está escrito aí, sem precisar passar rente ao travessão, é simplesmente a condição de lançamento com 45º.
Nessa lista da USP: http://plato.if.usp.br/~fep2195d/arquivos/Lista_02.pdf
Aí existe uma condição diferente, que é quando necessariamente passa rente ao travessão.
Nesse caso, não sei fazer. Para mim, para passar rente ao travessão, necessariamente terá que chutar a bola com 77,41º ou seu complementar, e ambos terão o mesmo alcance, 0,56m atrás do gol.

Enfim, eu achei uma questão estranha.

a) 0,56m
b) 13,5m (basta usar theta = 45 na fórmula do lançamento)