Ensino Superior ⇒ Reservatório com mínima área

[caiofix]

Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja lançar um novo tanque em formato cilíndrico no mercado. Então pediu-se à equipe de desenvolvimento que preparasse uma proposta de projeto com capacidade de 1000L.

Como a equipe pode determinar a medida do raio da base e da altura do reservatório de modo que a quantidade de material utilizada para sua fabricação seja mínima?

Não possuo Gabarito

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[IgorAM]

Área total do cilindro:
[tex3]A_t = 2\pi r^2 + 2\pi rh[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_t = 2\pi r^2 + 2\pi rh[/tex3]

Volume do cilindro:
[tex3]V = \pi r^2h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \pi r^2h[/tex3]

[tex3]1000\, L = 1\,m^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1000\, L = 1\,m^3[/tex3]

[tex3]1 = \pi r^2h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 = \pi r^2h[/tex3]

[tex3]h = \frac{1}{\pi r^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h = \frac{1}{\pi r^2}[/tex3]

[tex3]A_t = 2\pi r^2 + 2\pi r\frac{1}{\pi r^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_t = 2\pi r^2 + 2\pi r\frac{1}{\pi r^2}[/tex3]

[tex3]A_t = 2.\frac{ \pi r^3+1}{ r} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_t = 2.\frac{ \pi r^3+1}{ r} [/tex3]

[tex3]\frac{\mathrm{d}A_t }{\mathrm{d} r}=4\pi r - \frac{2}{r^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\mathrm{d}A_t }{\mathrm{d} r}=4\pi r - \frac{2}{r^2}[/tex3]

[tex3]0=4\pi r - \frac{2}{r^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0=4\pi r - \frac{2}{r^2}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{r^2}=4\pi r [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{r^2}=4\pi r [/tex3]

[tex3]\frac{2}{4\pi}= r^3 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{4\pi}= r^3 [/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{\frac{2}{4\pi}}= r [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{\frac{2}{4\pi}}= r [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{r=\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}\,m}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{r=\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}\,m}}[/tex3]