Olimpíadas ⇒ (OBM - NVL3 - 2010) Menor valor

[GehSillva7]

Qual é o menor valor positivo de 21m² - n² para m e n inteiros positivos?

a)1 b)2 c)3 d)5 e)7

[alexander4102]

Seja [tex3]21m^2-n^2=k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]21m^2-n^2=k[/tex3]

. Olhando módulo [tex3]7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7[/tex3]

:
[tex3]21m^2 - n^2 \equiv k \pmod 7 \\
n^2 \equiv -k \pmod 7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]21m^2 - n^2 \equiv k \pmod 7 \\
n^2 \equiv -k \pmod 7[/tex3]

Note que como um quadrado perfeito só pode ser congruente a [tex3]0,1,2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0,1,2[/tex3]

ou [tex3]4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4[/tex3]

módulo 7, não podemos ter [tex3]k=1, 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=1, 2[/tex3]

.
Porém para [tex3]k=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=3[/tex3]

, temos solução, por exemplo [tex3](m,n)=(2,9)[/tex3]

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[tex3](m,n)=(2,9)[/tex3]

:
[tex3]21\cdot(2)^2 - 9\cdot (1)^2 = 84 - 81 = 3[/tex3]

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[tex3]21\cdot(2)^2 - 9\cdot (1)^2 = 84 - 81 = 3[/tex3]

Resposta: Alternativa C

[Babi123]

Qual o "critério" para escolher qual módulo ultilizar em questões dessa natureza ou em equação diofantinas?

Sou ruim nisso!

[Ittalo25]

Qual o "critério" para escolher qual módulo ultilizar em questões dessa natureza ou em equação diofantinas?

Sou ruim nisso!

21 é 3x7, então para fazer o m "sumir" é natural tentar módulo 3 e/ou módulo 7.

É bom saber algumas congruências de cabeça, mas no final das contas é tentativa e erro mesmo, sempre fazendo algum termo "sumir". Treinando muito, os erros vão diminuindo.

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