Olimpíadas ⇒ OBMEP - Banco de questões 2017 - Primo ou composto? Tópico resolvido

[GehSillva7]

Determine se o número abaixo é um número primo ou um número composto:

[Auto Excluído (ID:17906)]

Para quantidade de uns prima:
1 uns: 121 = 11.11
3 uns: 1112111 = 11.101101
5 uns: 11111211111 = 11.1010110101
Seguindo o mesmo padrão...
Para quantidade de uns par:
2 uns: 11211 = 101.111
4 uns: 111121111 = 10001.11111
6 uns: 1111112111111 = 1000001.1111111
Seguindo o mesmo padrão...
Então podemos concluir por indução que o número da questão é composto.

[rodBR]

Olá, boa tarde.

[tex3]\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}2\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}2\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}[/tex3]

. Para verificar se o número é composto ou primo, façamos:
[tex3]\left( \frac{10^{2017}-1}{9}+1 \right)+\left(\frac{10^{2016}-1}{9}\right)\cdot 10^{-2018}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left( \frac{10^{2017}-1}{9}+1 \right)+\left(\frac{10^{2016}-1}{9}\right)\cdot 10^{-2018}[/tex3]

[tex3]\frac{10^{2017}+8}{9}+\frac{10^{-2}-10^{-2018}}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{10^{2017}+8}{9}+\frac{10^{-2}-10^{-2018}}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{10^{2017}+8+10^{-2}-10^{-2018}}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{10^{2017}+8+10^{-2}-10^{-2018}}{9}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}2\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}=\boxed{ \frac{10^{2017}+8+10^{-2}-10^{-2018}}{9}}\rightarrow é \ um \ número \ divisível \ por \ 9. Logo, \ não \ é \ primo.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}2\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}=\boxed{ \frac{10^{2017}+8+10^{-2}-10^{-2018}}{9}}\rightarrow é \ um \ número \ divisível \ por \ 9. Logo, \ não \ é \ primo.[/tex3]

Ps: Para escrever um número com vários 1, fazemos: [tex3]\frac{10^n-1}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{10^n-1}{9}[/tex3]

, [tex3]\forall \ n \in \mathbb{N^*}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\forall \ n \in \mathbb{N^*}[/tex3]

. Nesse problema temos que colocar, inicialmente, 2016 números 1
, depois acrescentar o número 2 e finalmente o restante (2016 números 1)
Para colocar 2016 números 1 e o2 em seguida, fiz [tex3]\left( \frac{10^{2017}-1}{9}+1 \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left( \frac{10^{2017}-1}{9}+1 \right)[/tex3]

e os 2016 1 após o 2 a maneira de colocar foi somando [tex3]\left(\frac{10^{2016}-1}{9}\right)\cdot 10^{-2018}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{10^{2016}-1}{9}\right)\cdot 10^{-2018}[/tex3]

.




att>>rodBR