Ensino Superior

Mensagem não lidapor **alevini98** » 04 Jan 2018, 21:57 · Mensagem não lida por **alevini98** » 04 Jan 2018, 21:57

A figura mostra um círculo de raio 1 inscrito na parábola [tex3]y=x^2[/tex3] . Encontre o centro do círculo.

: grafico 11.png (7.6 KiB) Exibido 2148 vezes

Só quero conferir a minha resposta, pois não tenho o gabarito.

Mensagem não lidapor **undefinied3** » 04 Jan 2018, 22:26 · 04 Jan 2018, 22:26

Aqui resolve seu problema e também cálcula a área entre o círculo e a parábola, tudo bem explicado e visual

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 04 Jan 2018, 23:37 · 04 Jan 2018, 23:37

Bem, mesmo o amigão já tendo postado uma referência, vou deixar uma solução aqui.
Naturalmente, o centro será da forma (0, a), onde a > 0 é um número real.
O que sabemos?
1) Que a equação da circunferência será do tipo [tex3]x^2 + (y-a)^2 = 1[/tex3] .
2) Que a parábola é tangente à circunferência em um ponto [tex3](b, b^2 ) [/tex3] .
Isso quer dizer que a circunferência passa por (b, b²):
[tex3]b^2 + (b^2-a)^2 = 1[/tex3]
E que a reta de coeficiente angular 2b e que passa por (b, b²) é perpendicular à reta que passa por (0, a) e (b, b²); assim:
[tex3]2b \frac{b^2 - a}{b-0}=-1 \Longrightarrow 2(b^2 -a) = - 1 \Longrightarrow b^2 -a = - \frac 1 2 \Longrightarrow b^2 =a - \frac 1 2 [/tex3]
Portanto,
[tex3]\begin{cases}b^2 + (a-b^2)^2 =1 \\ b^2 = a - \frac 1 2 \end{cases} \\ \left(a- \frac 1 2 \right ) +\left( a -a + \frac 1 2\right)^2 = 1 \Longrightarrow a = 1 - \frac 1 4 + \frac 1 2 = \frac 5 4 [/tex3]

05 Jan 2018, 03:46

vou só mostrar que o centro do círculo está sobre o eixo de simetria:

Sejam A e a pontos de uma parábola e H o encontro das tangentes por esses dois pontos.
F o foco da parábola. f a sua diretriz. B e b pés das perpendiculares à diretriz f da parábola por A e a.
Então [tex3]\angle AFH = \angle aFH[/tex3]

: parabola1.png (47.71 KiB) Exibido 2115 vezes

note que os triângulos [tex3]ABH[/tex3] e [tex3]AFH[/tex3] são congruentes, pois a tangente em A é bissetriz de [tex3]\angle BAF[/tex3] e [tex3]BA = AF[/tex3] logo [tex3]HB = HF = Hb[/tex3] logo triângulo [tex3]HBb[/tex3] é isósceles, de onde [tex3]\angle AFH = \angle ABH = \angle abH = \angle aFH[/tex3]
agora trace [tex3]HD[/tex3] e [tex3]HE[/tex3] perpendiculares às retas [tex3]AF[/tex3] e [tex3]aF[/tex3]

: parabola2.png (51.77 KiB) Exibido 2115 vezes

os triângulos [tex3]HFD[/tex3] e [tex3]HFE[/tex3] são congruentes pois [tex3]\angle HFD = \angle HFa - \angle aFD = \angle AFH - \angle AFE = \angle HFE[/tex3] . Logo [tex3]HD = HE[/tex3] .
repare que no caso do círculo tangente à parábola temos [tex3]HA = Ha[/tex3] pois são tangentes ao círculo também.
Isso implica triângulo [tex3]HDA[/tex3] congruente a [tex3]HEa[/tex3] de onde [tex3]AF = aF[/tex3] portanto [tex3]\angle AHF = \angle aHF [/tex3] e isso implica que o HF é perpendicular à diretriz (trace a perpendicular à diretriz por H sendo X o pé dessa perpendicular é fácil ver que [tex3]\angle AHX = \angle aHF[/tex3] ), como passa por F então HF é o eixo de simetria da parábola e também é mediatriz de Aa.

Ensino Superior ⇒ Círculo inscrito na parábola

Círculo inscrito na parábola

Re: Círculo inscrito na parábola

Re: Círculo inscrito na parábola

Re: Círculo inscrito na parábola

Ensino Superior ⇒ Círculo inscrito na parábola

Círculo inscrito na parábola

Re: Círculo inscrito na parábola

Re: Círculo inscrito na parábola

Re: Círculo inscrito na parábola

Entrar | Registrar