Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Carolinethz** » 14 Set 2017, 08:33

(UNESP) - A temperatura, em graus celsius (ºC), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0 hora às 24 horas,
é dada aproximadamente pela função:
f(t) = cos [tex3]\left(\frac{\pi }{12}.t\right)[/tex3] - cos [tex3]\left(\frac{\pi }{6}.t\right)[/tex3] , 0 [tex3]\leq [/tex3] t [tex3]\leq 24[/tex3] com t em horas. Determine:
a) a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às 9 horas (use as aproximações [tex3]\sqrt{2}[/tex3] = 1,4 e [tex3]\sqrt{3}[/tex3] = 1,7)
b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0ºC

Resposta

a) f(2) = 0,35°C ; f(9) = -0,7°C
b) 0h, 8h, 16h, 24h

OBS: a letra A eu consegui resolver, o meu problema está sendo a letra B. Encontrei resoluções mas todas pra mim foram confusas pois não manjo de trigonometria, se puderem me ajudar detalhadamente, eu ficarei feliz

Obrigada desde já!!!

Mensagem não lidapor **fismatpina** » 14 Set 2017, 12:15 · Mensagem não lida por **fismatpina** » 14 Set 2017, 12:15

A)
f(2) = (1,7)/2 - 0,5 = 0,35 graus
f(9) = (-1,4)/2 - 0 = -0,7 graus

B)
f(t) = 0
[tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3] t = [tex3]\pm \frac{\pi }{6}[/tex3] t + 2k [tex3]\pi [/tex3] (k [tex3]\in inteiros[/tex3] )

- ([tex3]\frac{\pi }{24}[/tex3] t )= k [tex3]\pi [/tex3] => k = - t/24 => t = -24k
([tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3] ) = k [tex3]\pi[/tex3] => k = t/8 => t = 8k

Unindo os 2 temos que t = 8k' (k'[tex3]\in inteiros[/tex3] )

Como k' é inteiro, t deve ser múltiplo de 8 => t = [tex3]\pm [/tex3] 8, [tex3]\pm [/tex3] 16, [tex3]\pm [/tex3] 24, [tex3]\pm [/tex3] 32, [tex3]\pm [/tex3] 40, ...

Porém como t são horas do dia t [tex3]\in [/tex3] [0,24]

Assim os valores de t que zeram a temperatura são: t = 8, 16 e 24

Mensagem não lidapor **Carolinethz** » 20 Set 2017, 08:23

fismatpina escreveu: ↑14 Set 2017, 12:15 B)
f(t) = 0
[tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3]
t = [tex3]\pm \frac{\pi }{6}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pm \frac{\pi }{6}[/tex3]
t + 2k [tex3]\pi [/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi [/tex3]
(k [tex3]\in inteiros[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\in inteiros[/tex3]
)

- ([tex3]\frac{\pi }{24}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{\pi }{24}[/tex3]
t )= k [tex3]\pi [/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi [/tex3]
=> k = - t/24 => t = -24k
([tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]
) = k [tex3]\pi[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi[/tex3]
=> k = t/8 => t = 8k

Aaaaaaaaaaaaaai eu odeio trigonometria. Ainda fiquei sem entender

Mensagem não lidapor **fismatpina** » 25 Set 2017, 16:56 · Mensagem não lida por **fismatpina** » 25 Set 2017, 16:56

Carolinethz escreveu: ↑20 Set 2017, 08:23
fismatpina escreveu: ↑14 Set 2017, 12:15 B)
f(t) = 0
[tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3]
t = [tex3]\pm \frac{\pi }{6}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pm \frac{\pi }{6}[/tex3]
t + 2k [tex3]\pi [/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi [/tex3]
(k [tex3]\in inteiros[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\in inteiros[/tex3]
)

- ([tex3]\frac{\pi }{24}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{\pi }{24}[/tex3]
t )= k [tex3]\pi [/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi [/tex3]
=> k = - t/24 => t = -24k
([tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]
) = k [tex3]\pi[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi[/tex3]
=> k = t/8 => t = 8k
Aaaaaaaaaaaaaai eu odeio trigonometria. Ainda fiquei sem entender

Qual parte especificamente você não entendeu?

Eu apenas verifiquei quando a temperatura é nula, vulgo f(t) = 0, aí apareceu uma igualdade de cossenos. Contudo, ao avaliar que dois arcos são iguais devemos atentar para a rotação no ciclo trigonométrico. Assim, abri nos casos + ou - e coloquei a rotação (2k [tex3]\pi [/tex3] ) para verificar se haviam respostas repetidas. Fazendo a interseção dos dois casos substituí uma nova incógnita (K' = t/8). Como K' é um inteiros basta avaliar os múltiplos inteiros de 8 atentando para o fato do dia ter 24 horas. Ainda não entendeu alguma passagem?

Mensagem não lidapor **Carolinethz** » 27 Set 2017, 07:30

fismatpina escreveu: ↑14 Set 2017, 12:15 - ([tex3]\frac{\pi }{24}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{\pi }{24}[/tex3]
t )= k [tex3]\pi [/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi [/tex3]
=> k = - t/24 => t = -24k
([tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]
) = k [tex3]\pi[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi[/tex3]
=> k = t/8 => t = 8k

Unindo os 2 temos que t = 8k' (k'[tex3]\in inteiros[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\in inteiros[/tex3]
)

fismatpina escreveu: ↑25 Set 2017, 16:56 Qual parte especificamente você não entendeu?

Eu ainda não compreendi de onde veio o [tex3]\frac{\pi }{24}[/tex3] e o [tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]

Mensagem não lidapor **fismatpina** » 27 Set 2017, 13:53 · Mensagem não lida por **fismatpina** » 27 Set 2017, 13:53

Carolinethz escreveu: ↑27 Set 2017, 07:30Eu ainda não compreendi de onde veio

Veja que eu abri nos dois casos:

Primeiro caso:

[tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3] t = [tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3] t + 2K [tex3]\pi [/tex3]

[tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3] t - [tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3] t = 2K [tex3]\pi [/tex3]

-([tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3] )t = 2K [tex3]\pi [/tex3]

K = -([tex3]\frac{t}{24}[/tex3] )

Segundo caso:

[tex3]\left(\frac{\pi }{12}\right)[/tex3] t = -([tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3] )t + 2K [tex3]\pi [/tex3]

[tex3]\frac{\pi }{12}[/tex3] t + [tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3] t = 2K [tex3]\pi [/tex3]

[tex3]\frac{3\pi }{12}[/tex3] t = 2K [tex3]\pi [/tex3]

[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] t = 2K [tex3]\pi [/tex3]

K = [tex3]\frac{t}{8}[/tex3]

Obs: Caso não tenho entendido porque abri em + ou - somando 2K [tex3]\pi [/tex3] , fiz um esboço no paint do ciclo trigonométrico. Veja que por ser uma função par [cos(x) = cos(-x)] devemos analisar os 2 casos e ainda contar com as rotação por isso somo um múltiplo de 360° (2K [tex3]\pi [/tex3] )

: cos.png (11.81 KiB) Exibido 8893 vezes

Espero que agora você consiga entender

Mensagem não lidapor **Carolinethz** » 29 Set 2017, 11:50

fismatpina escreveu: ↑27 Set 2017, 13:53

Obs: Caso não tenho entendido porque abri em + ou - somando 2K [tex3]\pi [/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi [/tex3]
, fiz um esboço no paint do ciclo trigonométrico. Veja que por ser uma função par [cos(x) = cos(-x)] devemos analisar os 2 casos e ainda contar com as rotação por isso somo um múltiplo de 360° (2K [tex3]\pi [/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\pi [/tex3]
)

Espero que agora você consiga entender

Agora ficou perfeito! Muito obrigada pela ajuda e pela paciência! Mesmo, mesmo, mesmo!

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