Na representação decimal
[tex3]34!=295232799039a041408476186096435b0000000[/tex3]
.
Encontre os valores de [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
.
Olimpíadas ⇒ Olimpíada Júnior do Azerbaijão - 2016 - Álgebra Tópico resolvido
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Olimpíada Júnior do Azerbaijão - 2016 - Álgebra
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 15 Mai 2017, 18:14, em um total de 1 vez.
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Mai 2017
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19:02
Re: Olimpíada Júnior do Azerbaijão - 2016 - Álgebra
[tex3]34![/tex3]
Basta dar uma olhada nos critérios de divisibilidade por 3 e por 11 que o exercício fica fácil de ser resolvido.
Agora estou de saída, não posso resolver
é múltiplo de 3 e de 11.Basta dar uma olhada nos critérios de divisibilidade por 3 e por 11 que o exercício fica fácil de ser resolvido.
Agora estou de saída, não posso resolver
Editado pela última vez por Ittalo25 em 15 Mai 2017, 19:02, em um total de 2 vezes.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Mai 2017
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19:09
Re: Olimpíada Júnior do Azerbaijão - 2016 - Álgebra
O número deve ser divisível por 11:
[tex3]0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2-(0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9)=11k[/tex3]
[tex3]a+77-(b+59)=11k[/tex3]
[tex3]a-b+18=11k[/tex3]
[tex3]a-b+7=11(k-1)=11k'[/tex3]
Como a e b são algarismos, temos as possibilidades (a,b,k'):
(0,7,0), (1,8,0), (2,9,0)
(4,0,1), (5,1,1), (6,2,1), (7,3,1) (8,4,1) (9,5,1)
Ainda precisamos de mais informação. 34! é divisível por [tex3]2^8[/tex3] , então o número formado pelos 8 últimos algarismos é divisível por [tex3]2^8[/tex3] , ou seja:
[tex3]256|b0000000[/tex3]
As possibilidades são 0 2 4 8 para b, sobrando os pares (1,8), (4,0), (6,2), (8,4)
Por último, divisibilidade por 9:
[tex3]0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2+0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9=9k[/tex3]
[tex3]a+b+136=9k \rightarrow a+b+1=9k'[/tex3]
Finalmente, o único par que satisfaz é (a,b)=(6,2)
Então o número é
295232799039604140847618609643520000000
EDIT: Ittalo falou antes de eu postar. Realmente, o critério de divisibilidade por 256 não foi necessário no final das contas, porque o único par (a,b) que iria satisfazer o critério por 9 dos que satisfazem o por 11 é o (6,2).
[tex3]0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2-(0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9)=11k[/tex3]
[tex3]a+77-(b+59)=11k[/tex3]
[tex3]a-b+18=11k[/tex3]
[tex3]a-b+7=11(k-1)=11k'[/tex3]
Como a e b são algarismos, temos as possibilidades (a,b,k'):
(0,7,0), (1,8,0), (2,9,0)
(4,0,1), (5,1,1), (6,2,1), (7,3,1) (8,4,1) (9,5,1)
Ainda precisamos de mais informação. 34! é divisível por [tex3]2^8[/tex3] , então o número formado pelos 8 últimos algarismos é divisível por [tex3]2^8[/tex3] , ou seja:
[tex3]256|b0000000[/tex3]
As possibilidades são 0 2 4 8 para b, sobrando os pares (1,8), (4,0), (6,2), (8,4)
Por último, divisibilidade por 9:
[tex3]0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2+0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9=9k[/tex3]
[tex3]a+b+136=9k \rightarrow a+b+1=9k'[/tex3]
Finalmente, o único par que satisfaz é (a,b)=(6,2)
Então o número é
295232799039604140847618609643520000000
EDIT: Ittalo falou antes de eu postar. Realmente, o critério de divisibilidade por 256 não foi necessário no final das contas, porque o único par (a,b) que iria satisfazer o critério por 9 dos que satisfazem o por 11 é o (6,2).
Editado pela última vez por undefinied3 em 15 Mai 2017, 19:09, em um total de 3 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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