Ensino Médio ⇒ Função Sobrejetora ou Injetora Tópico resolvido

[petras]

Seja a função f: IR -{-1,1} --> IR, definida por f(x) = x^3/(x^2-1) , não inversível. Podemos afirmar que essa função é:

Injetora, Não Injetora, Sobrejetora ou Não Sobrejetora .Justifique

[csmarcelo]

Toda função simultaneamente injetora e sobrejetora é inversível. Assim, não sendo inversível, ou ela não é injetora, ou não é sobrejetora.

[tex3]y=\frac{x^3}{x^2-1}\rightarrow x^3-yx^2-y=0[/tex3]

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[tex3]y=\frac{x^3}{x^2-1}\rightarrow x^3-yx^2-y=0[/tex3]

Como toda equação do terceiro grau tem pelo menos uma raiz real, a função é sobrejetora. Logo, tem que ser não injetora.

[crowmd]

Lembrando da definição de função injetora temos
Se f(x) é injetora, então se f(x1)=f(x2) <=> x1=x2 ou você pode usar a diferença também, tanto faz na verdade.
Então temos [tex3]f(x1)=f(x2)=> \frac{x1^3}{x1^2 -1}=\frac{x2^3}{x2^2 -1}[/tex3]

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[tex3]f(x1)=f(x2)=> \frac{x1^3}{x1^2 -1}=\frac{x2^3}{x2^2 -1}[/tex3]

Fazendo as operações algébricas temos [tex3]x1^3 -x2^3=x1^3.x2^2 - x2^3.x1^2[/tex3]

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[tex3]x1^3 -x2^3=x1^3.x2^2 - x2^3.x1^2[/tex3]

Colocando em evidência fica [tex3]x1^3 - x2^3=x1^2.x2^2(x1-x2)[/tex3]

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[tex3]x1^3 - x2^3=x1^2.x2^2(x1-x2)[/tex3]

Lembrando que [tex3]x1^3 -x2^3=(x1-x2)(x1^2 + x1.x2 +x2^2)[/tex3]

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[tex3]x1^3 -x2^3=(x1-x2)(x1^2 + x1.x2 +x2^2)[/tex3]

Então a equação fica [tex3](x1-x2)(x1^2 +x1.x2 + x2^2)=x1^2.x2^2(x1-x2)[/tex3]

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[tex3](x1-x2)(x1^2 +x1.x2 + x2^2)=x1^2.x2^2(x1-x2)[/tex3]

Dai podemos tirar duas conclusões
1:[tex3]x1=x2[/tex3]

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[tex3]x1=x2[/tex3]

A primeira conclusão seria que x1=x2 e isso iria satisfazer para que f fosse injetora certo?
Mas temos uma segunda conclusão
2: [tex3]x1^2 + x1.x2 + x2^2=x1^2.x2^2[/tex3]

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[tex3]x1^2 + x1.x2 + x2^2=x1^2.x2^2[/tex3]

Então como x1 e x2 podem ser diferentes a função não é injetora.
Agora vamos testar pra ver se a função é sobrejetora, para ser sobrejetora y=im(F)
[tex3]f(x)=y => \frac{x^3}{x^2 -1}=y => x^3=y.x^2 -y => x=\sqrt[3]{y.x^2 -y}[/tex3]

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[tex3]f(x)=y => \frac{x^3}{x^2 -1}=y => x^3=y.x^2 -y => x=\sqrt[3]{y.x^2 -y}[/tex3]

Observe o contradomínio são os reais e y não tem restrição, logo y pode assumir qualquer valor real, isso é y=im(f) logo a função é sobrejetora.
Só mais uma observação, caso tivesse provado la em cima que a função era injetora, a função automaticamente não seria sobrejetora, pois ela não tem inversa.E para ter inversa precisa ser bijetora(sobrejetora e injetora ao mesmo tempo), e claro se tivesse provado que era sobrejetora logo no inicio você já saberia que ela não é injetora.

[petras]

Grato csmarcelo e crownd mas ficou uma dúvida: :

Uma função f : A [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

B é injetora se, e somente se, elementos distintos de A têm imagens distintas em B.

f: A [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

B é injetora [tex3]\Leftrightarrow[/tex3]

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[tex3]\Leftrightarrow[/tex3]

(x1 [tex3]\neq[/tex3]

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[tex3]\neq[/tex3]

x2 ⇒ f(x1)[tex3]\neq[/tex3]

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[tex3]\neq[/tex3]

f(x2))

1) Por que foi utilizado o contrário f(1)=f(2); x1 = x2?

2) Baseado na definição de imagens distintas, percebemos que teríamos imagens iguais para x = 1 ou x = -1 mas estes estão fora do domínio. Se eles não pertencem ao domínio eu as considero na análise das imagens distintas? Se não, existira outros valores do domínio que teria imagens distintas?

Desde já, grato pela atenção.

[crowmd]

Então colega, você pode usar as duas definições (a que eu lhe mostrei é mais prática).
Vou tentar te explicar a maneira de você pensar nessa definição que utilizei, você já sabe da definição que você deu que se tenho f(x1) diferente de f(x2) então obrigatoriamente x1 teria que ser diferente de x2 certo? Tudo certo.
Mas vamos pensar de outra maneira, imagina que eu tenho agora duas funções f(x1)=f(x2) nesse momento tu pensa, fodeu, não tem como ser injetora ora tenho duas imagens iguais já era...Opa mas calmai e se o elemento que originou essas duas imagens iguais forem o mesmo elemento? Ai tem como, ou seja eles são a mesma coisa, é o mesmo que eu dizer que f(x)=f(x) porque x=x se eu obter um resultado diferente disso(diferente de x=x) ai ta na cara que ela não é injetora sacou? No caso ali em cima eu acabei obtendo dois resultados possíveis, um que x1 era de fato igual a x2 e outro que x1 era diferente de x2, então ela não é injetora.

O que não está no domínio você não pode considerar na hora de fazer analise beleza?Pois isso é uma restrição, você pode pensar sendo o seguinte, qualquer valor vale menos aquele que ele impôs uma restrição. Sobre o que saber se existe outros valores do domínio que tem imagens distintas, a prova é o que eu lhe mostrei na parte da função injetora, onde mostrei que existe um valor de f(x1) que é igual a f(x2) quando x1 não é igual x2, ou seja em outra palavras, eu tenho f(x)=f(x) quando x não é igual x Tenho duas imagens iguais para dois elementos do dominio diferente então não pode ser injetora.

[petras]

Muito bom crowmd. Entendi seu raciocínio, você faz a demonstração pelo contrário, vamos assim dizer, em vez da diferença utilizou a igualdade.. A questão da restrição surgiu por visualmente não perceber a existência de outros valores diferentes de -1 e 1 que ocasionariam imagens iguais, ou seja, devemos então 'sempre " fazer a demonstração algébrica para perceber a existência dessas imagens iguais. Seria isto?

[crowmd]

Isso mesmo cara, entendeu tudo certinho, para demonstrar é desse jeito mesmo que você entendeu !

[petras]

Agradeço as explicações ! Valeu!!

[csmarcelo]

2: [tex3]{x_1}^2+{x_1}{x_2}+{x_2}^2={x_1}^2{x_2}^2[/tex3]

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[tex3]{x_1}^2+{x_1}{x_2}+{x_2}^2={x_1}^2{x_2}^2[/tex3]

. Então como x1 e x2 podem ser diferentes a função não é injetora.

Isso precisaria de uma prova, não? Quero dizer, provar que existe um par [tex3](x_1,x_2)[/tex3]

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[tex3](x_1,x_2)[/tex3]

tal que [tex3]{x_1}^2+{x_1}{x_2}+{x_2}^2\neq{x_1}^2{x_2}^2[/tex3]

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[tex3]{x_1}^2+{x_1}{x_2}+{x_2}^2\neq{x_1}^2{x_2}^2[/tex3]

.

[DanielMororo]

Olá.
A função é bijetiva, amigos. A hipótese 2 fornecida pelo crowmd só acontece com um conjunto [tex3]\{x_1,\;x_2 \}[/tex3]

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[tex3]\{x_1,\;x_2 \}[/tex3]

, onde [tex3]x_1\in \;]-1,1[\; e\; x_2 \not \in \;]-1,1[[/tex3]

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[tex3]x_1\in \;]-1,1[\; e\; x_2 \not \in \;]-1,1[[/tex3]

. Infelizmente não tive aptidão para demonstrar isso com inequações (travei numa parte).
Derivando [tex3]f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}[/tex3]

, obtemos [tex3]f'(x)=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}[/tex3]

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[tex3]f'(x)=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}[/tex3]

. Isso nos fornece os pontos críticos [tex3]-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}[/tex3]

. Como [tex3]\lim_{x\rightarrow 0^-}f' \leq 0\; e\; \lim_{x\rightarrow 0^+}f' \leq 0[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\rightarrow 0^-}f' \leq 0\; e\; \lim_{x\rightarrow 0^+}f' \leq 0[/tex3]

, o ponto crítico 0 é ponto de inflexão. Como não há pontos de mínimo e máximo no domínio [tex3]]-1\; 1[[/tex3]

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[tex3]]-1\; 1[[/tex3]

, não há concavidades e portanto a função é injetora.