Ensino Médio ⇒ Circunferências Tangentes Tópico resolvido

[geobson]

(Noruega-91) Duas circunferências são tangentes externas e tangenciam a reta L nos pontos A e B. A reta AP intersecta a outra circunferencia em C. Prove que BC è perpendicular à reta L.

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[tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

o centro da circunferência menor
[tex3]O'[/tex3]

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[tex3]O'[/tex3]

o centro da circunferência maior

obviamente [tex3]OPO'[/tex3]

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[tex3]OPO'[/tex3]

são alinhados uma vez que [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

é o ponto de tangencia das duas circunferências

os triângulos [tex3]AOP[/tex3]

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[tex3]AOP[/tex3]

e [tex3]CO'P[/tex3]

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[tex3]CO'P[/tex3]

são semelhantes uma vez que ambos são isósceles AO=AP = r e O'C = O'P = R
e possuem ângulo [tex3]O'PC = OPA[/tex3]

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[tex3]O'PC = OPA[/tex3]

já que são opostos pelo vértice
seja [tex3]\alpha = OPA[/tex3]

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[tex3]\alpha = OPA[/tex3]

então [tex3]PO'C = 190 - 2\alpha[/tex3]

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[tex3]PO'C = 190 - 2\alpha[/tex3]

porém [tex3]BO'P = 2\alpha[/tex3]

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[tex3]BO'P = 2\alpha[/tex3]

logo o ângulo
[tex3]CO'B = 180 - 2\alpha + 2\alpha = 180[/tex3]

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[tex3]CO'B = 180 - 2\alpha + 2\alpha = 180[/tex3]

e então [tex3]C,O',B[/tex3]

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[tex3]C,O',B[/tex3]

estão alinhados como AB é tangente à circunferência maior então a reta BO' = CB é perpendicular à reta AB

[geobson]

Obrigado!................