Ensino Médio

Arture · Mensagem não lida por **Arture** » 12 Set 2016, 19:48

Resolver [tex3]\frac{2x-1}{x+2} \leq 1[/tex3] , com x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

Uma das formas de resolver seria resolvendo a partir do 1 e outra (a mais recomendada pelo professor) seria trabalhar com o zero em um lado da equação. Mas não consigo desenvolver a inequação....

[tex3]\frac{2x-1}{x+2}-1\leq 0[/tex3]

[tex3]\frac{(2x-1)-(x+2)}{(x+2)} \leq 0[/tex3]

[tex3]i[/tex3] : $2x-1-x-2\leq0$ ou $ii$ : $x+2\leq 0$ ( $i:x\leq 3$ ou $ii: x\leq -2$ )

[tex3]\boxed{\boxed{S=(x\in \mathbb{R}|x\leq 3 ou x\leq -2})}[/tex3]

Segue a resolução:
Seja uma inequação do tipo [tex3]\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0[/tex3] , as seguintes possibilidades podem ocorrer:
1) [tex3]f(x)\geq 0[/tex3] e [tex3]g(x) < 0[/tex3] , pois se g(x) = 0 teríamos um absurdo.
2) [tex3]f(x)\leq 0[/tex3] e [tex3]g(x) > 0[/tex3] , pois se g(x) = 0 teríamos um absurdo.
Logo, o trabalho é dobrado. A determinação das soluções obedece a relação abaixo:
[tex3]S = (S_1 \cap S_2) \cup (S_3 \cap S_4)[/tex3] ,
onde cada intersecção é um caso.
Trabalhando a inequação:
[tex3]\frac{2x-1}{x+2}\leq 1[/tex3]
[tex3]\frac{2x-1}{x+2}-1\leq 0[/tex3]
[tex3]\frac{2x-1 - (x+2)}{x+2}\leq 0[/tex3]
[tex3]\frac{2x-1 - x - 2)}{x+2}\leq 0[/tex3]
[tex3]\frac{x-3}{x+2}\leq 0[/tex3]
Por comparação com os casos citados, basta substituir:
f(x) = x - 3 e g(x) = x + 2
Então,
1) [tex3]f(x)\geq 0[/tex3] e [tex3]g(x) < 0[/tex3] , pois se g(x) = 0 teríamos um absurdo.
[tex3]x - 3\geq 0[/tex3] [tex3]\rightarrow x \geq 3[/tex3]
[tex3]x + 2 < 0[/tex3] [tex3]\rightarrow x < -2[/tex3]
A intersecção é:
[tex3]S_1 \cap S_2 = \lbrace\rbrace[/tex3]
2) [tex3]f(x)\leq 0[/tex3] e [tex3]g(x) > 0[/tex3] , pois se g(x) = 0 teríamos um absurdo.
[tex3]x - 3\leq 0 \rightarrow x \leq 3[/tex3]
[tex3]x + 2 > 0[/tex3] [tex3]\rightarrow x > -2[/tex3]
A intersecção é:
[tex3]S_3 \cap S_4 = -2<x\leq 3[/tex3] ou [tex3]S_3 \cap S_4 = ]-2;3][/tex3]

Portanto, o conjunto solução é:
[tex3]S = (S_1 \cap S_2) \cup (S_3 \cap S_4)[/tex3]
[tex3]S = \lbrace\rbrace \cup ]-2;3][/tex3]
[tex3]S = \{ x\in \mathbb{R} \| -2<x\leq3 }[/tex3]

Até, Pedro.

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