Pré-Vestibular ⇒ (UFPR) Geometria Analítica Tópico resolvido

[Gauss]

No sistema cartesiano ortogonal Oxy, considere a circunferência [tex3]\gamma[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma[/tex3]

de centro [tex3]C(4,3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C(4,3)[/tex3]

e [tex3]r= 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r= 5[/tex3]

, em que [tex3]r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r[/tex3]

é o raio da circunferência.

A) Encontre a equação cartesiana da circunferência.

B) Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com o eixo Oy.

C) Seja P o ponto de intersecção da circunferência com o eixo Oy, de ordenada positiva. Encontre a equação da reta que tangencia a circunferência nesse ponto P.

OBS: Não é necessário a resolução das letras A e B. Agradeço a quem me ajudar apenas na letra C.

Resposta

---

A) [tex3]x^2+y^2-8x-6y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+y^2-8x-6y=0[/tex3]

ou [tex3](x-4)^2+(y-3)^2=5^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-4)^2+(y-3)^2=5^2[/tex3]

B) [tex3](0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](0,0)[/tex3]

e [tex3](0,6)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](0,6)[/tex3]

C) [tex3]y=\frac{4}{3}x+6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{4}{3}x+6[/tex3]

[undefinied3]

No momento não posso resolver, mas vou te dar uma dica. Se a reta é tangente à circunferência em um dado ponto, então o raio e essa reta formam 90 graus. Utilizando deste fato, você pode calcular a equação da reta do raio utilizando o centro e o dado ponto, encontrar o coeficiente angular, e como a reta tangente forma 90 graus com o raio, esta terá coeficiente angular oposto e inverso. Depois é só utilizar

Código: Selecionar tudo

[tex3]y-y_0=m(x-x_0)[/tex3]

com as coordenadas do ponto dado e você encontrará a equação da reta tangente.
Outra resolução, apenas por curiosidade, é por derivada. O coeficiente angular de qualquer reta tangente em um ponto

Código: Selecionar tudo

[tex3](x_0,y_0)[/tex3]

à uma circunferência é sempre

Código: Selecionar tudo

[tex3]-\frac{(x-x_0)}{(y-y_0)}[/tex3]

[Gauss]

Obrigado, undefinied. Irei tentar fazer, caso eu não consiga eu posto aqui.

[jrneliodias]

Olá, Gauss.

Se você tem uma reta genérica

Código: Selecionar tudo

[tex3]y=ax+b[/tex3]

e uma circunferência

Código: Selecionar tudo

[tex3](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2[/tex3]

´, então se você resolver esse sistema:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\begin{cases}
y=ax+b \\
x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2
\end{cases}[/tex3]

Substituindo o ponto dado fazendo

Código: Selecionar tudo

[tex3]\Delta=0[/tex3]

para que haja apenas um ponto em comum, você achará o coeficiente angular.

Espero ter ajudado. Bons estudos.

[Gauss]

Se a circunferência intersecta o eixo Oy no ponto [tex3]P[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P[/tex3]

, então, [tex3]P(0,k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(0,k)[/tex3]

, em que k é a ordenada de intersecção da circunferência com o eixo Oy.

[tex3]P\in \gamma \rightarrow (0,k)\rightarrow x^2+y^2-8x-6y=0\\(0)^2+(k^2)-8.(0)-6.(k)\rightarrow k'=0\ (Falso)\ ou\ \boxed {k''=6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P\in \gamma \rightarrow (0,k)\rightarrow x^2+y^2-8x-6y=0\\(0)^2+(k^2)-8.(0)-6.(k)\rightarrow k'=0\ (Falso)\ ou\ \boxed {k''=6}[/tex3]

Calculemos o coeficiente angular da reta correspondente ao raio utilizando os pontos [tex3]C(4,3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C(4,3)[/tex3]

e [tex3]P(0,6)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(0,6)[/tex3]

:

[tex3]m'=\frac{6-3}{0-4}\rightarrow m'=\frac{-3}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m'=\frac{6-3}{0-4}\rightarrow m'=\frac{-3}{4}[/tex3]

Calculemos o coeficiente angular da reta tangente à circunferência, a qual é perpendicular a reta correspondente ao raio:

[tex3]m'.m=-1\rightarrow m=-1.\frac{-4}{3}\rightarrow m=\frac{4}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m'.m=-1\rightarrow m=-1.\frac{-4}{3}\rightarrow m=\frac{4}{3}[/tex3]

O ponto [tex3]P(0,6)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(0,6)[/tex3]

pertence a reta tangente à circunferência, portanto:

[tex3]y-y_0=m(x-x_0)\\y-6=\frac{4}{3}.(x-0)\\y=\frac{4x}{3}+6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y-y_0=m(x-x_0)\\y-6=\frac{4}{3}.(x-0)\\y=\frac{4x}{3}+6[/tex3]

Penso que seja isto!