Ensino Superior ⇒ Como calculo essas derivadas?

[lspctrstn]

Como posso responder essas derivadas?

a) y= (2x+5)^3(x+1)^2
Nesta questão eu respondi tanto (2x+5)^3 como 3(x+1)^2 pelo método da função potencia, porém não estou conseguindo chegar ao valor que é; 2(x+1)(2x+5)^2(5x+8)

b) f(x)=(5x^4-3x^2+2x+1)^10. Nesta também fiz pelo da potencia mas está dando a metade do que é a resposta

c) Qual o método que utilizo para essa; y= (x+1/x)^2

Obrigada!

P.S: Não é necessário colocar a questão pronta, só colocar uma forma de como posso resolve-las.

[LucasPinafi]

a) Bem, você pode fazer essa pelo método da potência, mas não, para mim, é mais complicadinho (você teria que fazer cada potência e depois multiplicar). Um método alternativo é usar a derivação implícita:
Veja:

Código: Selecionar tudo

[tex3]y=(2x+5)^3(x+1)^2 \Rightarrow \ln y= \ln [(2x+5)^3 (x+1)^2 ] =\ln (2x+5)^3+\ln (x+1)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]\Leftrightarrow \ln y =3 \ln (2x+5) +2 \ln (x+1)[/tex3]

Derivando implicitamente em relação a x, temos:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{1}{y} y'=\frac{6}{2x+5}+ \frac{2}{x+1} \Rightarrow y' =y(\frac{6}{2x+5}+\frac{2}{x+1})[/tex3]

Mas

Código: Selecionar tudo

[tex3]y= (2x+5)^3 (x+1)^2[/tex3]

Logo:

Código: Selecionar tudo

[tex3]y'= (2x+5)^3 (x+1)^2 (\frac{6}{2x+5}+\frac{2}{x+1}) \\ \ =6(2x+5)^2 (x+1)^2+2(x+1) (2x+5)^3[/tex3]

b) Bem, essa é mais simples que a anterior:

Código: Selecionar tudo

[tex3]y'= 10(5x^4-3x^2+2x+1)^9 (20x^3-6x+2)[/tex3]

c)

Código: Selecionar tudo

[tex3]y = (\frac{x+1}{x})^2 \Rightarrow \sqrt{y}= \frac{x+1}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]\sqrt{y} = 1+ \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{y'}{2\sqrt{y}}=- \frac{1}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]y' = -2\sqrt{y} \frac{1}{x^2}=-2 \frac{x+1}{x} \frac{1}{x^2}= -2 \frac{x+1}{x^3}[/tex3]

é claro que você poderia aplicar a regra do quociente diretamente nessa última.

[lspctrstn]

Obrigada Lucas Penafiel,obrigada pela explicação do primeiro, nesta letra b o meu resultado também foi este sendo que na resposta está como sendo o dobro (livro) e obrigada pela letra c, depois consegui fazer.