Ensino Superior ⇒ Sistema linear - Interpretação geométrica Tópico resolvido

[ftellesp]

Para que o sistema de equações (a-2) x + 3y = 4 e 2x-6y =10 tenha representação gráfica de retas concorrentes, devemos ter:

a igual a - 3.
a diferente de 1
a diferente de 2
a igual a 1
a igual a 2

[fabit]

Na forma [tex3]px+qy+c=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]px+qy+c=0[/tex3]

(ou, dando no mesmo, [tex3]px+qy=k[/tex3]

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[tex3]px+qy=k[/tex3]

), os coeficientes [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

e [tex3]q[/tex3]

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[tex3]q[/tex3]

compõem o vetor normal à reta [tex3]\vec{n}=(p,q)[/tex3]

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[tex3]\vec{n}=(p,q)[/tex3]

. Para que elas sejam concorrentes, e considerando que o contexto de apenas duas variáveis ([tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

) é o de retas contidas no plano cartesiano, basta que os vetores normais de cada uma das retas não sejam paralelos. Isto é, não tenham coordenadas proporcionais.

Obs1: Com três variáveis, tudo isso muda, pois as equações passariam a representar planos, além do que, no espaço tridimensional, retas que não são paralelas podem ser reversas e não concorrerem.

Obs2: Pode-se usar os coeficientes [tex3]p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p[/tex3]

e [tex3]q[/tex3]

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[tex3]q[/tex3]

para obter um vetor que tem a mesma direção da reta, em vez do normal, a saber, [tex3]\vec{v}=(-q,p)[/tex3]

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[tex3]\vec{v}=(-q,p)[/tex3]

, mas a conclusão de que as coordenadas correspondentes não podem ficar proporcionais é rigorosamente a mesma.

Feita toda essa preparação, tudo o que temos de fazer é estabelecer que [tex3]\frac{a-2}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a-2}{2}[/tex3]

seja diferente de [tex3]\frac{3}{-6}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{-6}[/tex3]

, ou seja, o único valor de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

que não serve é raiz da igualdade [tex3]\frac{a-2}{2}=\frac{3}{-6}[/tex3]

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[tex3]\frac{a-2}{2}=\frac{3}{-6}[/tex3]

.

Resolvendo-a, fica [tex3]2-a=1[/tex3]

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[tex3]2-a=1[/tex3]

. Então [tex3]\boxed{a\neq 1}[/tex3]

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[tex3]\boxed{a\neq 1}[/tex3]

Letra B.