Física II ⇒ Relação entre dilatação linear e dilatação superficial Tópico resolvido

[DFSilva]

Boa noite pessoal, alguém por favor pode me dar um help nesta questão, não consigo chegar na resposta, obrigado.
Uma chapa retangular delgada tem lados de comprimentos
ao e bo, quando está à temperatura θ0. O coeficiente de
dilatação linear do material de que é feita essa chapa é α.
Ao considerar a chapa sujeita a uma variação de
temperatura ∆θ, e desprezando qualquer aproximação
matemática, pode-se dizer que o coeficiente de dilatação
superficial β da chapa é dado por

Resposta: β = 2α + α^2(∆θ) e dependerá da temperatura.

[VALDECIRTOZZI]

Chamemos de [tex3]a_o[/tex3]

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[tex3]a_o[/tex3]

o comprimento inicial e de [tex3]b_o[/tex3]

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[tex3]b_o[/tex3]

, a largura incial.
A dilatação em ambas dimensões será dada por:
[tex3]a=a_o(1+\alpha \Delta \theta )[/tex3]

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[tex3]a=a_o(1+\alpha \Delta \theta )[/tex3]

[tex3]b=b_o(1+\alpha \Delta \theta )[/tex3]

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[tex3]b=b_o(1+\alpha \Delta \theta )[/tex3]

Note que a área dilatada da chapa será dada por:
[tex3]a \cdot b=a_o(1+\alpha \Delta \theta ) \cdot b_o(1+\alpha \Delta \theta )[/tex3]

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[tex3]a \cdot b=a_o(1+\alpha \Delta \theta ) \cdot b_o(1+\alpha \Delta \theta )[/tex3]

[tex3]a \cdot b=a_o \cdot b_o \cdot (1+\alpha \Delta \theta )^2[/tex3]

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[tex3]a \cdot b=a_o \cdot b_o \cdot (1+\alpha \Delta \theta )^2[/tex3]

(I)

Por outro lado, sabemos que a dilatação superficial é dada por:
[tex3]A_{final}=A_o (1+\beta\Delta\theta )[/tex3]

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[tex3]A_{final}=A_o (1+\beta\Delta\theta )[/tex3]

No nosso caso:
[tex3]a \cdot b=a_0 \cdot b_ o \cdot (1+\beta \Delta\theta)[/tex3]

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[tex3]a \cdot b=a_0 \cdot b_ o \cdot (1+\beta \Delta\theta)[/tex3]

(II)

Dividindo I e II membro a membro:
[tex3]\frac{a \cdot b}{a \cdot b}=\frac{a_o \cdot b_o \cdot (1+\alpha \Delta \theta )^2}{a_0 \cdot b_ o \cdot(1+\beta \Delta\theta)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a \cdot b}{a \cdot b}=\frac{a_o \cdot b_o \cdot (1+\alpha \Delta \theta )^2}{a_0 \cdot b_ o \cdot(1+\beta \Delta\theta)}[/tex3]

[tex3]1=\frac{(1+\alpha \Delta \theta )^2}{1+\beta \Delta \theta}[/tex3]

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[tex3]1=\frac{(1+\alpha \Delta \theta )^2}{1+\beta \Delta \theta}[/tex3]

[tex3]1+\beta \Delta \theta =1+2\alpha\Delta\theta +\alpha^2(\Delta\theta )^2[/tex3]

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[tex3]1+\beta \Delta \theta =1+2\alpha\Delta\theta +\alpha^2(\Delta\theta )^2[/tex3]

[tex3]\beta \Delta \theta=2\alpha\Delta\theta +\alpha^2(\Delta\theta )^2[/tex3]

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[tex3]\beta \Delta \theta=2\alpha\Delta\theta +\alpha^2(\Delta\theta )^2[/tex3]

[tex3]\beta=\frac{2\alpha\Delta\theta +\alpha^2(\Delta\theta )^2}{\Delta \theta }=2\alpha+\alpha^2 \Delta\theta[/tex3]

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[tex3]\beta=\frac{2\alpha\Delta\theta +\alpha^2(\Delta\theta )^2}{\Delta \theta }=2\alpha+\alpha^2 \Delta\theta[/tex3]

Espero ter ajudado!

[DFSilva]

Sim, entendi. Muito obrigado.