A equação [tex3]\frac{{PP_1}}{PP_2} = k,\, k\neq 1[/tex3]
onde [tex3]P_1[/tex3]
e [tex3]P_2[/tex3]
são dois pontos dados do plano representa uma circunferência em [tex3]P[/tex3]
cujo centro se encontra sobre a reta [tex3]P_1P_2[/tex3]
. Atribui-se ao matemático grego, Apolônio de Perga, a exploração dessa propriedade das circunferências.
Esta demonstração desta propriedade vale-se de números complexos.
Sabe-se que qualquer número complexo [tex3]z=x+iy[/tex3]
pode ser associado a um vetor [tex3](x,y)[/tex3]
no plano de Gauss, e vice-versa. Logo denota-se por [tex3]p_1[/tex3]
o número complexo associado ao ponto [tex3]\vec{P_1} = (x_{P_1},y_{P_1})[/tex3]
(no caso, [tex3]p_1 = x_{P_1} + iy_{P_1}[/tex3]
) e por [tex3]p_2[/tex3]
o número complexo associado a [tex3]\vec{P_2}[/tex3]
.
A equação de uma circunferência de centro [tex3]z_0[/tex3]
e raio [tex3]R[/tex3]
no plano complexo é:
[tex3]|z-z_0| = R[/tex3]
ou
[tex3]|z-z_0|^2 = R^2 \rightarrow (z-z_0)(\bar z-\bar z_0)=R^2[/tex3]
desenvolvendo o produto
[tex3]z\bar z -(z\bar z_0 + z_0\bar z) + |z_0|^2 = R^2[/tex3]
A equação [tex3]\frac{{PP_1}}{PP_2} = k[/tex3]
no plano complexo se torna:
[tex3]\frac{|z-p_1|}{|z-p_2|} = k[/tex3]
ou ainda
[tex3]|z-p_1|^2 = k^2|z-p_2|^2[/tex3]
[tex3](z-p_1)(\bar z - \bar p_1) = k^2(z-p_2)(\bar z - \bar p_2)[/tex3]
[tex3](z\bar z-z\bar p_1-\bar z p_1 + |p_1|^2) = k^2(z\bar z-z\bar p_2-\bar z p_2 + |p_2|^2)[/tex3]
[tex3]0 = (k^2-1)z\bar z - z(k^2\bar p_2 - \bar p_1)-\bar z (k^2p_2-p_1) + k^2|p_2|^2 - |p_1|^2[/tex3]
como [tex3]k\neq 1[/tex3]
e [tex3]k >0[/tex3]
podemos dividir tudo por [tex3]k^2-1[/tex3]
[tex3]0 = z\bar z - (z\frac{(k^2\bar p_2 - \bar p_1)}{k^2-1}+\bar z \frac{(k^2p_2-p_1)}{k^2-1}) + \frac{k^2|p_2|^2 - |p_1|^2}{k^2-1}[/tex3]
comparando com a equação geral da circunferência obtida anteriormente conclui-se que o centro da circunferência é o ponto:
[tex3]z_0 = \frac{k^2p_2-p_1}{k^2-1} = \frac{k^2\vec{P_2}-\vec{P_1}}{k^2-1}[/tex3]
duas propriedades interessante são:
[tex3]z_0 - p_2 = \frac{p_2-p_1}{k^2-1}[/tex3]
[tex3]z_0 - p_1 = k^2\frac{p_2-p_1}{k^2-1}[/tex3]
e de raio dado por:
[tex3]|z_0|^2 - R^2 = \frac{k^2|p_2|^2 - |p_1|^2}{k^2-1}[/tex3]
[tex3]R^2 = |z_0|^2 - \frac{k^2|p_2|^2 - |p_1|^2}{k^2-1}[/tex3]
ou [tex3]R = \frac{k|p_2-p_1|}{k^2-1} = \frac{kP_1P_2}{k^2-1}[/tex3]
a reta que contém [tex3]p_1[/tex3]
e [tex3]p_2[/tex3]
e dada pela equação:
[tex3]z(\bar p_1 - \bar p_2) - \bar z(p_1-p_2) = \bar p_1p_2 - p_1\bar p_2[/tex3]
tomando-se [tex3]z = z_0[/tex3]
temos
[tex3]\frac{(k^2p_2-p_1)(\bar p_1 - \bar p_2) - (k^2\bar p_2- \bar p_1)(p_1-p_2)}{k^2-1} =[/tex3]
[tex3]\frac{(k^2p_2\bar p_1-k^2|p_2|^2 -|p_1|^2+p_1\bar p_2) - (k^2p_1\bar p_2-k^2|p_2|^2-|p_1|^2 + p_2\bar p_1)}{k^2-1} =[/tex3]
[tex3]\frac{k^2(p_2\bar p_1-p_1\bar p_2)+p_1\bar p_2 - p_2\bar p_1}{k^2-1} =[/tex3]
[tex3](p_2\bar p_1-p_1\bar p_2)\frac{k^2-1}{k^2-1} = p_2\bar p_1-p_1\bar p_2[/tex3]
logo [tex3]z_0[/tex3]
está na reta [tex3]p_1p_2[/tex3]
.
Unindo esta propriedade com [tex3]z_0 - p_2 = \frac{p_2-p_1}{k^2-1}[/tex3]
obtém-se um método de se construir [tex3]z_0[/tex3]
tomando a circunferência de raio [tex3]\frac{P_1P_2}{k^2-1}[/tex3]
com centro em [tex3]P_2[/tex3]
e cortando-a com a reta [tex3]P1P2[/tex3]
basta verificar qual dos pontos dista [tex3]k^2\frac{P_1P_2}{k^2-1}[/tex3]
de [tex3]P_1[/tex3]
. Pode-se verificar que [tex3]P_1[/tex3]
e [tex3]P_2[/tex3]
são inversos em relação a circunferência obtida.
Ensino Médio ⇒ Demonstração - circunferências de apolônio
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Jan 2015
30
02:27
Demonstração - circunferências de apolônio
Editado pela última vez por caju em 03 Mai 2024, 14:04, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 5 Resp.
- 3489 Exibições
-
Últ. msg por Renadeca
-
- 7 Resp.
- 5418 Exibições
-
Últ. msg por marciaqueiroz
-
- 1 Resp.
- 1040 Exibições
-
Últ. msg por roberto
/japa_boy.png)
