Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Ardovino** » 05 Dez 2014, 12:01 · Mensagem não lida por **Ardovino** » 05 Dez 2014, 12:01

Se (x;y) representa um par de numero real que satisfaz o sistema abaixo:

[tex3]56x + 33y = -y/(x^2 + y^2)[/tex3]
[tex3]33x - 56y = x/(x^2 + y^2)[/tex3]

Então o valor numérico de |x| + |y| é igual a:

a)7/65
b)8/65
c)9/65
d)10/65
e)11/65

----------------
A unica coisa que eu percebi foi que:
Sendo (a;b) um numero complexo
[tex3](x;y)*(56;33) = (33x-56y;56x+33y) = (x/(x^2 + y^2);-y/(x^2 + y^2))[/tex3]

você percebeu a parte mais interessante,só com um pequeno erro é (33,56) não (56,33) só faltou terminar:

Seja:

$z = x+iy$
temos que
$z(33+56i) = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$
lembre da seguinte propriedade fundamental:
$z\bar{z} = |z|^2$
$z(33+56i) = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}}$
$z(33+56i) = \frac{1}{z}$
$z^2(33+56i) = 1$
$z^2 = \frac{1}{33+56i}$
$z^2 = \frac{33-56i}{56^2+33^2}$
$z^2 = \frac{33-56i}{65^2}$

dai é só tirar a raíz quadrada do número complexo acima que vc tem o x e o y
ou resolver
$x^2 - y^2 = \frac{33}{65^2}$
$2xy = -\frac{56}{65^2}$
$4y^2(\frac{33}{65^2}+y^2)= \frac{56^2}{65^4}$
$4y^4 + 4y^2\frac{33}{65^2} - \frac{56^2}{65^4} = 0$
$y^4 + y^2\frac{33}{65^2} - \frac{56^2}{4\cdot65^4}=0$
$(y^2+\frac{33}{2\cdot 65^2})^2-\frac{56^2 + 33^2}{4\cdot 65^4} =0$
$(y^2+\frac{33}{2\cdot 65^2})^2 = \frac{1}{4\cdot 65^2}$
$y^2+\frac{33}{2\cdot 65^2} = \frac{1}{2\cdot 65}$
$y^2 = \frac{1}{2\cdot 65} - \frac{33}{2\cdot 65^2}$
$y^2 = \frac{65}{2\cdot 65^2} - \frac{33}{2\cdot65^2}$
$y^2 = \frac{65 - 33}{2\cdot 65^2}$
$y^2 = \frac{32}{2\cdot 65^2}$
$|y| = \frac{4}{65}$
$|x| = \frac{7}{65}$
a soma dos dois da $\frac{11}{65}$ letra E

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