IME/ITA ⇒ (Escola Naval) Dinâmica

[PedroCunha]

Olá, amigos.

Um pedreiro deseja armazenar areia de tal maneira que ela tenha a forma de um cone de raio da base R e altura h. Nenhuma areia deve ficar fora desse cone. Sendo [tex3]\mu[/tex3]

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[tex3]\mu[/tex3]

o coeficiente de atrito estático entre os grãos de areia, o maior volume de areia que pode ser armazenado dessa maneira é:

a) [tex3]\frac{m \cdot \pi \cdot R^2h}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{m \cdot \pi \cdot R^2h}{3}[/tex3]

b) [tex3]\frac{m \cdot \pi \cdot R^2h^2}{3\sqrt{R^2+h^2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{m \cdot \pi \cdot R^2h^2}{3\sqrt{R^2+h^2}}[/tex3]

c) [tex3]\frac{m \cdot \pi \cdot R^3h}{3\sqrt{R^2+h^2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{m \cdot \pi \cdot R^3h}{3\sqrt{R^2+h^2}}[/tex3]

d) [tex3]\frac{m \cdot \pi \cdot R^3}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{m \cdot \pi \cdot R^3}{3}[/tex3]

e) [tex3]\frac{2m \cdot \pi \cdot R^2h}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2m \cdot \pi \cdot R^2h}{3}[/tex3]

Não possuo gabarito.

Grato pela atenção.

Abraços,
Pedro

[mateusITA]

Diagrama de forças de um grão de areia localizado na "beira" do cone:

imagem.JPG (6.85 KiB) Exibido 2011 vezes

Equilíbrio do grão de areia em x (direção paralela à força normal):

[tex3]N=P.cos\theta[/tex3]

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[tex3]N=P.cos\theta[/tex3]

[tex3]N=m.g.cos\theta[/tex3]

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[tex3]N=m.g.cos\theta[/tex3]

(I)

Equilíbrio do grão de areia em y (direção paralela à força de atrito):

[tex3]F_{max}=P.sen\theta[/tex3]

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[tex3]F_{max}=P.sen\theta[/tex3]

[tex3]\mu.N=m.g.sen\theta[/tex3]

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[tex3]\mu.N=m.g.sen\theta[/tex3]

(II)

Fazendo (II) dividido por (I):

[tex3]\mu=tg\theta[/tex3]

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[tex3]\mu=tg\theta[/tex3]

(III)

Da Trigonometria:

[tex3]tg\theta=\frac{h}{R}[/tex3]

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[tex3]tg\theta=\frac{h}{R}[/tex3]

(IV)

Volume do cone de areia:

[tex3]V=\frac{\pi R^{2}h}{3}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{\pi R^{2}h}{3}[/tex3]

(V)

(IV) [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

(V):

[tex3]V=\frac{\pi R^{3}tg\theta }{3}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{\pi R^{3}tg\theta }{3}[/tex3]

Usando (III):

[tex3]V=\frac{\mu\pi R^{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{\mu\pi R^{3}}{3}[/tex3]

Referência: Fundamentos de Física (Volume I) - Halliday, Resnick, Walker

[Vinisth]

física.png (12.85 KiB) Exibido 2001 vezes

Esta imagem está representado a secção transversal do cone, com areia.
Como o grão está em equilíbrio estático :

[tex3]\begin{cases}
N=F_{gy}=P\cos \theta \\
F_{at}=F_{gx}=P \sin \theta
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
N=F_{gy}=P\cos \theta \\
F_{at}=F_{gx}=P \sin \theta
\end{cases}[/tex3]

Então, só seguir o caminho acima.

Abraço !

[PedroCunha]

Como relacionar a massa, Vinisth?

[aleixoreis]

Meus amigos:

Normalmente, a resposta de uma questão é em função de dados contidos no enunciado.
Neste caso não foi informado nem peso e nem massa do grão de areia.
Não sei o porquê, mas penso que o

Código: Selecionar tudo

[tex3]m[/tex3]

das respostas seja o coeficiente de atrito, que é dado do problema.
Se assim for, penso que a resposta do MateusITa está certa e o encaminhamento do Vinisth levaria ao mesmo resultado.
[ ]'s.