IME / ITA ⇒ (ITA - 2012) Teoria da Contagem Tópico resolvido

[Paitt]

Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a:

A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14

[Vinisth]

Olá Paitt,

Aqui você tem que escrever todas as possibilidades em um esquema. Fiz no excel.

possibilidades.png (5.06 KiB) Exibido 8695 vezes

Letra D

Abraço

[PedroCunha]

Olá, amigos.

Outra maneira:

o exercício pede - em outras palavras - que encontremos as soluções da equação

Código: Selecionar tudo

[tex3]x + 5y + 10z = 25, x,y,z \in \mathbb{N}[/tex3]

.

Fica fácil ver que

Código: Selecionar tudo

[tex3]z = 0 \text{ ou } z = 1 \text{ ou } z = 2[/tex3]

, de maneira que podemos reescrever a equação, separando-a em alguns casos e lembrando que

Código: Selecionar tudo

[tex3]x, y \in \mathbb{N}[/tex3]

:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\begin{cases}

z = 0 \rightarrow x+5y = 25 \rightarrow (0,5), (5,4),(10,3)(15,2)(20,1)(25,0) \\
z = 1 \rightarrow x+5y = 15 \rightarrow (0,3), (5,2),(10,1), (15,0) \\
z = 2 \rightarrow x+5y = 5 \rightarrow (0,1), (5,0)

\end{cases}[/tex3]

12 soluções.

Att.,
Pedro

[Paitt]

Obrigado pelas respostas.