Pré-Vestibular ⇒ (Cesgranrio-Comcitec - 1973) Sistema Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Considere o sistema

Código: Selecionar tudo

[tex3]\begin{cases}x_1-2x_2+x_3=a\\2x_1+x_2+x_3=b\\5x_2-x_3=c\end{cases}[/tex3]

Então:
a) o sistema possui solução quaisquer que sejam a,b,c
b) o sistema possui solução apenas quando a=b=c
c) o sistema possui solução se e somente se 2a-b+c=0
d) o sistema possui solução única quando a=b=c=0
e) as quatro afirmativas anteriores são falsas.

Resposta

---

c

[PedroCunha]

Olá, José Carlos.

Vamos escalonar o sistema:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\begin{cases}x_1-2x_2+x_3=a \dots I \\2x_1+x_2+x_3=b \dots II \\5x_2-x_3=c \dots III \end{cases} \\\\

II-I: x_1 + 3x_2 = b-a \dots IV \\
II+III: 7x_1 + x_2 = b+c \dots V \\
IV - 3V: -20x_1 = b-a - 3b - 3c \therefore -20x_1 = -a-2b-3c \therefore \\\\ x_1 = \frac{a+2b+3c}{20} \\\\

3x_2 = b-a - \frac{a+2b+3c}{20} \therefore 3x_2 = \frac{18b-21a-3c}{20} \therefore x_2 = \frac{-7a+6b-c}{20} \\\\

x_3 = \frac{-7a+6b-c}{4} - c \therefore x_3 = \frac{-7a+6b-5c}{4}[/tex3]

Substituindo os valores obtidos na primeira equação do sistema original, teremos:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{a+2b+3c}{20} - \frac{-7a+6b-c}{10} + \frac{-7a+6b-5c}{4} = a \therefore -a+b-c = a \therefore \\\\ -2a+b-c = 0
\Leftrightarrow 2a-b+c = 0[/tex3]

Alternativa c.

Att.,
Pedro