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Mensagem não lidapor **Cláudio02** » 27 Set 2014, 10:43 · Mensagem não lida por **Cláudio02** » 27 Set 2014, 10:43

Os pontos [tex3]K[/tex3] , [tex3]L[/tex3] , [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] são os pontos médios dos lados do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] . Prove que a área de [tex3]KLMN[/tex3] é a metade da área de [tex3]ABCD[/tex3] .

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 20 Nov 2014, 22:06 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 20 Nov 2014, 22:06

Olá Cláudio02,

: paralelo.png (25.24 KiB) Exibido 2367 vezes

Seja $A_1B_1C_1D_1$ um paralelogramo e seus pontos médios ( pontos pretos no quadrilátero), seja uma reta passando pelos pontos médios $E_1F_1$ e uma reta $B_1L || D_1A_1$ por semelhança e congruência, se prova que $E_1F_1 || D_1B_1$ . Deixo para você provar isso.
Dicas : Lembre-se que $B_1L || D_1A_1$ , eu prolonguei $B_1$ intersectando em L de forma que $B_1L || D_1A_1$ . Para provar atente-se para o ângulo oposto pelo vértice e o lado oposto ao ângulo oposto pelo vértices dos dois triângulos. Aí você mata a charada da figura.

Com essas informações você sabe que os pontos médios de um quadrilátero qualquer, forma sempre um paralelogramo., pois pela simetria $G_1H_1 || E_1F_1$ e assim por diante ...

Agora vamos para a parte das áreas :

: paralelogramo.png (22.22 KiB) Exibido 2367 vezes

Sabemos que EFGH é um paralelogramo. de forma análoga a que foi explicado acima JFKI também é um paralelogramo e sua diagonal JK o divide em duas área iguais.
E ainda neste mesmo paralelogramo

: paralelogramo1.png (31.36 KiB) Exibido 2367 vezes

Deixo para você provar que os ângulos mostrados são compatíveis. Basta reparar nas retas paralelas, que foi provado acima e notar os ângulos alternos e internos. Veja que o ângulo $F\hat{K}J = F\hat{A}J$ e os triângulos FJK e FAJ são congruentes, da mesma forma que os triângulos BFK é congruente a FKJ, pelo caso LAL.
Se eles são congruentes, a área deles também são, portanto a área do triângulo $\triangle AIB = \frac{1}{2}FKJI$

Analogamente
$\boxed{ABCD = \frac{1}{2}EFGH}$

Espero que compreenda.
Abraço !

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