Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Ivo213** » 23 Ago 2014, 22:47 · Mensagem não lida por **Ivo213** » 23 Ago 2014, 22:47

Resolver, fornecendo todas as raízes da equação:

[tex3]2^{\sqrt{x+7}[/tex3] + 3.[tex3]4^{x}[/tex3] - 56 = 0

Uma das raízes é igual a 2.
Haverá outras raízes? Reais ou imaginárias?

“E o testemunho é este: Que Deus nos deu a vida eterna, e esta vida está em seu Filho. Quem tem o Filho tem a vida; quem não tem o Filho de Deus não tem a vida.” – 1ª João 5:11-12

Mensagem não lidapor **olgario** » 26 Ago 2014, 16:57 · Mensagem não lida por **olgario** » 26 Ago 2014, 16:57

Olá, Ivo.
Segundo O Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine, parece que a raiz é apenas uma, com um valor ligeiramente superior a 2.
Veja o gráfico e solução abaixo.

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Abraço

Mensagem não lidapor **Ivo213** » 26 Ago 2014, 17:25 · Mensagem não lida por **Ivo213** » 26 Ago 2014, 17:25

Boa noite, Olgario.

Eu tinha chegado a essa conclusão pelo Wolfram.
Aliás, o primeiro termo é um potência em vez de um produto: [tex3]2^{sqrt(x+7)}[/tex3]
Colocando o primeiro termo como uma potência, a solução é exatamente 2.
Entretanto, estava esperando um tipo de resolução pelos caminhos normais da matemática.
Será que teria algum? Além da resolução pelo Wolfram?

Mensagem não lidapor **olgario** » 29 Ago 2014, 11:19 · Mensagem não lida por **olgario** » 29 Ago 2014, 11:19

Olá Ivo, bom dia.

De facto não me apercebi de que o primeiro termo era uma potência. Por coincidência os gráficos são praticamente iguais e o valor da variável difere apenas em mais 0,02931 para além do 2.
Mas falando da equação exponencial correcta, $2^{\sqrt{x+7}}+3\cdot4^x-56=0$ , devo dizer-lhe que tenho novidades.
O problema até nem é muito difícil, o que nos falta por vezes é o conhecimento das regras matemáticas adequadas a cada caso, o que nos conduz, com a prática, a uma certa intuição perante os problemas.
Mas vamos lá.

$2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x-56 = 0$ ---> Colocando $-56$ para o 2º membro, temos:

[tex3]2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x =56[/tex3] . ----> Note que as duas parcelas do 1º membro são potências de base $2$ . $2^{\sqrt{x+7}}$ , e $3\cdot 4^x$ sendo $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ . Então poderemos transformar o $56$ numa soma de dois factores que também sejam, no fim, uma potência de $2$ . E foi aqui que nos faltou a tal intuição.
Assim, poderemos fazer $56 = 8 + 48$ . ---> Note que o $8$ é uma potência de $2$ directa, pois $8 = 2^3$ , e $48$ , no fim, ao ser comparado com $3\cdot 4^x$ , vão se transformar numa potência de $2$ , pois: $3\cdot 4^x = 48\;\, \longrightarrow\;\,4^x = \frac{48}{3}\;\,\longrightarrow\;\,4^x =16$ ---> Note que $16$ é uma potência de $2$ .
Assim, fazemos:

$2^{\sqrt{x+7}}= 8$ . (I)
e
$3\cdot4^x = 48$ . (II)

i) Vamos trabalhar com a expressão (I), que é a que se segue:

$2^{\sqrt{x+7}} = 8$ ---> Note que $8 = 2^3$ . Assim sendo temos:

$2^{\sqrt{x+7}} = 2^3$ ---> Como as potências já têm bases iguais, ignoramo-las e passamos a trabalhar apenas com os expoentes igualando-os. Assim:

$\sqrt{x+7}= 3$ ---> Agora para nos libertarmos do radical, vamos eliminá-lo elevando ambos os membros ao quadrado. Assim:

$({\sqrt{x+7}})^2 = 3^2$ ---> Desenvolvendo, ficamos com:

$x+7 = 9$
$x = 9 -7$

$\boxed{x = 2}$ <--- Este é o valor de $x$ conforme a primeira comparação.

ii) Vamos trabalhar com a expressão (II), que é a seguinte:

$3\cdot4^x = 48$ ---> Isolando $4^x$ temos:

$4^x = \frac{48}{3}$
$4^x = 16$ ---> Note que $16 = 4^2$ . Assim sendo temos:

$4^x = 4^2$ ---> Como as bases já estão iguais, então podemos igualar os expoentes. Logo:

$\boxed{x = 2}$ <--- Veja que, pela segunda comparação, também chegámos ao resultado de $x= 2$ .

iii) Desta forma, concluímos que:

$\boxed{\boxed{x = 2}}$ <--- Esta é a resposta.

Um processo para seguirmos um fio condutor para uma resolução mais condensada e sistematizada do problema, poderia ser utilizando chavetas consecutivas, como se fosse um sistema, (neste caso com uma única incógnita) com base nas equações (I) e (II) formuladas no início.

$2^{\sqrt{x+7}}= 8$ . (I)
e
$3\cdot4^x = 48$ . (II)

SISTEMA:

$\begin{cases}2^{\sqrt{x+7}}=8\; (I)\\ 3\cdot4^x=48\;(II)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}{2^{\sqrt{x+7}}=2^3\\ 4^x =\frac{48}{3}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}{(\sqrt{x+7}})^2 =3^2\\ 4^x=16\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\sqrt[\cancel2]{(x+7)^{\cancel2}}=3^2\\ 4^x=4^2\end{cases}\Rightarrow\\ \Rightarrow\begin{cases}{x+7}=9\\ 4^x=4^2\end{cases} \;\Rightarrow \begin{cases}{x+7=9}\\ x=2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}{x=9-7}\\ x=2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}{x=2\\x=2\end{cases}$

No fundo o que tinhamos que fazer era:

Dada a equação original.
---> $2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x-56 = 0$

1º - Colocar o termo independente para o 2º membro.
---> $2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x = 56$

2º - Intuir que o nº 56 se pode e nos convém escreve-lo sob a forma de 8+46, para a consecução do problema.
---> $2^{\sqrt{x+7}} + 3\cdot 4^x = 8+46$

3º - Formar 2 equações igualando os valores das caixas de rebordo duplo com as de rebordo simples.Ver abaixo.
---> $\boxed{\boxed{2^{\sqrt{x+7}}}} + \boxed{3\cdot 4^x}} = \boxed{\boxed{8}}+\boxed{46}$

4º - E por último resolver essas equações. Vindo-se a concluir que a variável $x$ acaba por dar o mesmo valor em ambas, justificando que $x=2$ .

A explicação está um pouco longa, mas é para que entenda ao pormenor. E como diz o provérbio "Quem corre por gosto não cansa".
Espero ter ajudado.
Abraço

Mensagem não lidapor **Ivo213** » 20 Jul 2015, 10:02 · Mensagem não lida por **Ivo213** » 20 Jul 2015, 10:02

Bom dia, amigo olgario.
Somente agora vim a perceber sua segunda resposta a esta minha questão.
Venho agradecer-lhe de coração por todo o empenho em colocar esta resolução assim tão completa a respeito da equação exponencial que coloquei há tempos neste fórum.
Um grande abraço para ti.
ivo213

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