Ensino Superior ⇒ Álgebra linear - Transformações lineares

[Tiagofb]

Verifique se a função abaixo é uma transformação linear.
T (ax² + bx + c) = [tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & c \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & c \\
\end{pmatrix}[/tex3]

: [tex3]V\rightarrow W[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V\rightarrow W[/tex3]

, onde V é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e W é o espaço das matrizes de 2 x 2 triangulares superiores.

[jedi]

para ser uma transofrmação linear ela deve satisafazer a seguinte propriedade

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[tex3]T(\alpha(a.x^2+b.x+c)+\beta(d.x^2+e.x+f))=\alpha.T(a.x^2+b.x+c)+\beta.T(d.x^2+e.x+f)[/tex3]

então temos

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[tex3]T(\alpha(a.x^2+b.x+c)+\beta(d.x^2+e.x+f))=T((\alpha.a+\beta.d).x^2+(\alpha.b+\beta.e).x+\alpha.c+\beta.f)[/tex3]

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[tex3]=\begin{pmatrix}\alpha.a+\beta.d&\alpha.b+\beta.e\\0&\alpha.c+\beta.f\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]=\begin{pmatrix}\alpha.a&\alpha.b\\0&\alpha.c\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\beta.d&\+\beta.e\\0&\beta.f\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]=\alpha\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}d&e\\0&f\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]=\alpha.T(a.x^2+b.x+c)+\beta.T(d.x^2+e.x+f)[/tex3]

portanto temos uma transformação linear