Ensino Superior

carlosa · Mensagem não lida por **carlosa** » 30 Jun 2014, 14:06

Na solução do cálculo do volume do solido sob o plano z=4x e a circunferência [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3] =16 no plano xy, qual é o motivo para a multiplicação da integral abaixo por 2?
4 [tex3]\int\limits_{0}^{4} \int\limits_{0}^{\sqrt{16-y^{2}}[/tex3] xdxdy

Fonte: Leithold, 2 edição.

Mensagem não lidapor **candre** » 30 Jun 2014, 14:28 · Mensagem não lida por **candre** » 30 Jun 2014, 14:28

acho que e por causa da simetria da função $z=f(x,y)=4x$ no eixo $y$ , tendo: $4\int_{-4}^4\int_0^{\sqrt{16-y^2}}xdxdy=2\left(4\int_{0}^4\int_0^{\sqrt{16-y^2}}xdxdy\right)$

carlosa · Mensagem não lida por **carlosa** » 30 Jun 2014, 15:10

Mas como eu enxergo essa condição?

Mensagem não lidapor **candre** » 01 Jul 2014, 15:49 · Mensagem não lida por **candre** » 01 Jul 2014, 15:49

nesse caso acho que e isso, ja que tendo $z(x,y)=4x$ , tem-se $z(x,-y)=z(x,y)$ de forma que o valor de $z$ num ponto $(x,y)$ sera igual ao valor $z$ no ponto $(x,-y)$ , portanto o solido gerado sera de certa forma simétrico ao eixo $y$ , como se o plano $yOz$ gerasse uma copia de $z(x,y)$ no lado negativo do eixo $y$ , logo se for calcular o volume com $y\in[4|-4]$ basta calcular o volume em $y\in[4|0]$ e multiplica por $2$ , já que o volume em $y\in[0|-4]$ sera igual, tendo que de $y\in[-4|4]$ terá dua vezes o volume de $y\in[4|0]$ .

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Cálculo de Volume por Interal Dupla

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