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b. 7√3
c. 7√3 - 12
d. 7√3 + 12
e 7√3 - 6
Resposta
Resp. D
Ensino Médio ⇒ Relações Métricas no Triângulo Retângulo Tópico resolvido
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Lucasmenezes
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Jun 2014
19
03:09
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Se a soma dos comprimentos das circunferências de mesmo raio, do triangulo abaixo, é 12 , qual a área do triângulo?
a. √6 - 1
b. 7√3
c. 7√3 - 12
d. 7√3 + 12
e 7√3 - 6
Resp. D
b. 7√3
c. 7√3 - 12
d. 7√3 + 12
e 7√3 - 6
Resp. D
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csmarcelo
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Jun 2014
19
08:34
Re: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Se a soma dos comprimentos das 6 circunferências de mesmo raio é 12, então o comprimento de uma circunferência é 2.
[tex3]2\pi r=2\rightarrow r=\frac{1}{\pi}[/tex3]
Repare que os três lados do triângulo possuem a mesma medida e, portanto, o triângulo é equilátero.
Agora, analisemos uma das extremidades desse triângulo.
Como o triângulo maior é equilátero, [tex3]\hat{A}\equiv60^\circ[/tex3]
.
Sendo os segmentos [tex3]\overline{AB'}[/tex3] e [tex3]\overline{AC'}[/tex3] tangentes à circunferência de centro [tex3]O_1[/tex3] :
1) eles possuem a mesma medida e, portanto, [tex3]\hat{B'C'A}\equiv\hat{C'B'A}=60^\circ[/tex3] .
2) [tex3]\hat{A}[/tex3] é um ângulo externo à circunferência e, portanto, sua medida corresponde à metade da medida do ângulo central que define o mesmo arco. Logo, [tex3]\hat{B'O_1C'}\equiv2\cdot60^\circ=120^\circ[/tex3] .
Pela Lei dos Cossenos,
[tex3]B'C'^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot\cos120^\circ[/tex3]
[tex3]B'C'^2=\left(\frac{1}{\pi}\right)^2+\left(\frac{1}{\pi}\right)^2-2\cdot\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{\pi}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)[/tex3]
[tex3]B'C'=\frac{\sqrt{3}}{\pi}[/tex3]
Sendo a medida do lado [tex3]a[/tex3] do triângulo equilátero maior igual a 4 vezes a medida do raio das circunferências mais duas vezes a medida de [tex3]B'C'[/tex3] , temos que [tex3]a=4\cdot\frac{1}{\pi}+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{\pi}=\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}[/tex3]
A área [tex3]S[/tex3] de um triângulo equilátero é dada por [tex3]\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex3] , sendo [tex3]a[/tex3] a medida do lado e, portanto,
[tex3]S=\frac{\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12+7\sqrt{3}}{\pi^2}[/tex3]
Minha resolução envolve relações trigonométricas. Como resolver apenas com relações métricas/tangência?
[tex3]2\pi r=2\rightarrow r=\frac{1}{\pi}[/tex3]
Repare que os três lados do triângulo possuem a mesma medida e, portanto, o triângulo é equilátero.
Agora, analisemos uma das extremidades desse triângulo.
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Sendo os segmentos [tex3]\overline{AB'}[/tex3] e [tex3]\overline{AC'}[/tex3] tangentes à circunferência de centro [tex3]O_1[/tex3] :
1) eles possuem a mesma medida e, portanto, [tex3]\hat{B'C'A}\equiv\hat{C'B'A}=60^\circ[/tex3] .
2) [tex3]\hat{A}[/tex3] é um ângulo externo à circunferência e, portanto, sua medida corresponde à metade da medida do ângulo central que define o mesmo arco. Logo, [tex3]\hat{B'O_1C'}\equiv2\cdot60^\circ=120^\circ[/tex3] .
Pela Lei dos Cossenos,
[tex3]B'C'^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot\cos120^\circ[/tex3]
[tex3]B'C'^2=\left(\frac{1}{\pi}\right)^2+\left(\frac{1}{\pi}\right)^2-2\cdot\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{\pi}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)[/tex3]
[tex3]B'C'=\frac{\sqrt{3}}{\pi}[/tex3]
Sendo a medida do lado [tex3]a[/tex3] do triângulo equilátero maior igual a 4 vezes a medida do raio das circunferências mais duas vezes a medida de [tex3]B'C'[/tex3] , temos que [tex3]a=4\cdot\frac{1}{\pi}+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{\pi}=\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}[/tex3]
A área [tex3]S[/tex3] de um triângulo equilátero é dada por [tex3]\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex3] , sendo [tex3]a[/tex3] a medida do lado e, portanto,
[tex3]S=\frac{\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12+7\sqrt{3}}{\pi^2}[/tex3]
Minha resolução envolve relações trigonométricas. Como resolver apenas com relações métricas/tangência?
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Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
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Lucasmenezes
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Jun 2014
19
21:25
Re: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Agradeço o esforço por querer demonstrar a resolução cs. Realmente evolve relações trigonometricas, seria mais correto colocar em outro setor (Trigonometria) e mudar o titulo.
Muito obrigado mesmo. Ate colocou um desenho muito bem elaborado.
Mas não entendi o pi² la no final. Consegui resolver de uma outra maneira (praticamente igual mas usando a formula da area do triangulo = (a . b . senΘ) / 2) mas na minha resolução não aparecia o pi. dava só 12 + √ 3
Muito obrigado mesmo. Ate colocou um desenho muito bem elaborado.
Mas não entendi o pi² la no final. Consegui resolver de uma outra maneira (praticamente igual mas usando a formula da area do triangulo = (a . b . senΘ) / 2) mas na minha resolução não aparecia o pi. dava só 12 + √ 3
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Editado pela última vez por Lucasmenezes em 19 Jun 2014, 21:25, em um total de 1 vez.
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csmarcelo
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Jun 2014
19
22:57
Re: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Você encontrou o mesmo valor de [tex3]a[/tex3]
que eu? Se sim, o [tex3]\pi^2[/tex3]
é consequência da aplicação de [tex3]a[/tex3]
, que possui [tex3]\pi[/tex3]
no denominador, na fórmula da área.
Pela fórmula do seno:
Se [tex3]a=\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}[/tex3] , então,
[tex3]S=\frac{\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}\cdot\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}\cdot\sin60^\circ}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\frac{28+16\sqrt{3}}{\pi^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\frac{48+28\sqrt{3}}{2\pi^2}}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{48+28\sqrt{3}}{4\pi^2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{12+7\sqrt{3}}{\pi^2}[/tex3]
Pela fórmula do seno:
Se [tex3]a=\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}[/tex3] , então,
[tex3]S=\frac{\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}\cdot\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}\cdot\sin60^\circ}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\frac{28+16\sqrt{3}}{\pi^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\frac{48+28\sqrt{3}}{2\pi^2}}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{48+28\sqrt{3}}{4\pi^2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{12+7\sqrt{3}}{\pi^2}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 17 Mai 2024, 23:44, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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