Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Cláudio02** » 27 Mai 2014, 16:54 · Mensagem não lida por **Cláudio02** » 27 Mai 2014, 16:54

Determine quantos pares de inteiros positivos [tex3](a,b)[/tex3] são tais que [tex3]a^{2}+b^{2} \mid 1995[/tex3] .

21 Jun 2014, 00:45

resposta fácil infinitos pares de inteiros positivos satisfazem o problema:
basta:
$a = 1995k$
$b = 1995m$
PS: o $mdc(a,b)$ é sempre diferente de 1 pois ambos devem ser divisíveis por 3.

Mensagem não lidapor **Cássio** » 21 Jun 2014, 23:32 · Mensagem não lida por **Cássio** » 21 Jun 2014, 23:32

Na verdade, sousóeu, com essa relação aí você quer dizer que 1995 divide a²+b², mas o problema dele é outro.

22 Jun 2014, 00:12

Cássio escreveu:Na verdade, sousóeu, com essa relação aí você quer dizer que 1995 divide a²+b², mas o problema dele é outro.

é verdade Cássio, que besteira a minha.

Teorema:"Seja $n$ pertencente a $N$ , $n=o^2m$ , em que $m$ é livre de quadrados (ou seja, não existe um primo $p$ tal que $p^2$ divida $m$ ), então existem inteiros $a$ e $b$ tais que $n=a^2+b^2$ se, e somente se, $n$ não tem fatores primos da forma 4K + 3."(*)

Com esse teorema fica ridiculamente fácil:
$1995 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$

podemos perceber que:
$3 = 4\cdot0+3$
$7 = 4\cdot1+3$
$19 = 4\cdot4+3$

então nenhum número livre de quadrados que tenha como fator um desses fatores primos acima pode ser escrito como a soma de dois quadrados. Restando apenas o caso:

$a^2 + b^2 = 5 \rightarrow a=1 \,\,\,\, b=2$

Só um par possível. Um abraço

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